Помогите мне определить частные производные первого и второго порядка функции arctg(x / 2y).

Математика 11 класс Частные производные функций нескольких переменных частные производные первый порядок второй порядок функция arctg математика 11 класс производные функции вычисление производных Новый

Давайте найдем частные производные функции f(x, y) = arctg(x / (2y)). Мы будем находить как частные производные первого порядка, так и частные производные второго порядка.

1. Частные производные первого порядка:

• Частная производная по x:

Для нахождения частной производной по x, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала запишем производную функции arctg(u), где u = x / (2y).

Производная arctg(u) по u равна 1 / (1 + u^2). Теперь найдем производную u по x:

u = x / (2y)
du/dx = 1 / (2y)

Теперь применим правило цепочки:

∂f/∂x = (1 / (1 + (x / (2y))^2)) * (1 / (2y))

Таким образом, частная производная по x будет равна:

∂f/∂x = 1 / (2y * (1 + (x^2 / (4y^2)))) = 1 / (2y + (x^2 / 2y))

• Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную по y. Снова используем правило цепочки. Производная arctg(u) по u остается такой же, а для u по y:

du/dy = -x / (2y^2)

Теперь применим правило цепочки:

∂f/∂y = (1 / (1 + (x / (2y))^2)) * (-x / (2y^2))

Таким образом, частная производная по y будет равна:

∂f/∂y = -x / (2y^2 * (1 + (x^2 / (4y^2)))) = -x / (2y^2 + (x^2 / 2))

2. Частные производные второго порядка:

• Вторая частная производная по x:

Чтобы найти вторую частную производную по x, нам нужно продифференцировать ∂f/∂x еще раз по x:

∂²f/∂x² = ∂(1 / (2y + (x^2 / 2y))) / ∂x

Для этого применим правило частного производного и дифференцируем:

∂²f/∂x² = -x / (2y + (x^2 / 2y))^2 * (1 / (2y))

• Вторая частная производная по y:

Теперь найдем вторую частную производную по y:

∂²f/∂y² = ∂(-x / (2y^2 + (x^2 / 2))) / ∂y

Здесь также применяем правило частного производного и дифференцируем:

∂²f/∂y² = x / (2y^2 + (x^2 / 2))^2 * (2x / 2).

Теперь у вас есть частные производные первого и второго порядка функции arctg(x / (2y)). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!