Давайте найдем частные производные функции f(x, y) = arctg(x / (2y)). Мы будем находить как частные производные первого порядка, так и частные производные второго порядка.

1. Частные производные первого порядка:

• Частная производная по x:

Для нахождения частной производной по x, мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала запишем производную функции arctg(u),где u = x / (2y).

Производная arctg(u) по u равна 1 / (1 + u^2). Теперь найдем производную u по x:

u = x / (2y)
du/dx = 1 / (2y)

Теперь применим правило цепочки:

∂f/∂x = (1 / (1 + (x / (2y))^2)) * (1 / (2y))

Таким образом, частная производная по x будет равна:

∂f/∂x = 1 / (2y * (1 + (x^2 / (4y^2)))) = 1 / (2y + (x^2 / 2y))

• Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную по y. Снова используем правило цепочки. Производная arctg(u) по u остается такой же, а для u по y:

du/dy = -x / (2y^2)

Теперь применим правило цепочки:

∂f/∂y = (1 / (1 + (x / (2y))^2)) * (-x / (2y^2))

Таким образом, частная производная по y будет равна:

∂f/∂y = -x / (2y^2 * (1 + (x^2 / (4y^2)))) = -x / (2y^2 + (x^2 / 2))

2. Частные производные второго порядка:

• Вторая частная производная по x:

Чтобы найти вторую частную производную по x, нам нужно продифференцировать ∂f/∂x еще раз по x:

∂²f/∂x² = ∂(1 / (2y + (x^2 / 2y))) / ∂x

Для этого применим правило частного производного и дифференцируем:

∂²f/∂x² = -x / (2y + (x^2 / 2y))^2 * (1 / (2y))

• Вторая частная производная по y:

Теперь найдем вторую частную производную по y:

∂²f/∂y² = ∂(-x / (2y^2 + (x^2 / 2))) / ∂y

Здесь также применяем правило частного производного и дифференцируем:

∂²f/∂y² = x / (2y^2 + (x^2 / 2))^2 * (2x / 2).

Теперь у вас есть частные производные первого и второго порядка функции arctg(x / (2y)). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!