Чтобы найти экстремум функции z, заданной уравнением z = -6x - 2y + 3x² + 3xy + y² + 1, нам нужно следовать нескольким шагам, связанным с нахождением частных производных и решением системы уравнений.

1. Находим частные производные функции z:
   • Частная производная по x:

   dz/dx = -6 + 6x + 3y

   • Частная производная по y:

   dz/dy = -2 + 3x + 2y

2. Приравниваем частные производные к нулю:

   Для нахождения критических точек необходимо решить систему уравнений:

   • -6 + 6x + 3y = 0
   • -2 + 3x + 2y = 0
3. Решаем систему уравнений:
   • Из первого уравнения выразим y:

   3y = 6 - 6x => y = 2 - 2x

   • Подставим y во второе уравнение:

   -2 + 3x + 2(2 - 2x) = 0

   -2 + 3x + 4 - 4x = 0 => -x + 2 = 0 => x = 2

   • Теперь подставим значение x в выражение для y:

   y = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2

4. Критическая точка:

   Мы нашли критическую точку (2, -2).

5. Проверяем, является ли эта точка минимумом или максимумом:

   Для этого нужно вычислить вторые производные:

   • d²z/dx² = 6
   • d²z/dy² = 2
   • d²z/dxdy = 3

   Теперь составим определитель Гессе:

   D = (d²z/dx²) * (d²z/dy²) - (d²z/dxdy)² = 6 * 2 - 3² = 12 - 9 = 3

   Так как D > 0 и d²z/dx² > 0, то в точке (2, -2) находится минимум.

Таким образом, мы нашли, что функция z имеет минимум в точке (2, -2).