Чтобы исследовать функцию нескольких переменных на экстремум, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим функцию z = x^2 + (y - 1)^2.

Шаг 1: Найти частные производные.

• Сначала найдем частную производную функции z по переменной x:
• ∂z/∂x = 2x.
• Теперь найдем частную производную функции z по переменной y:
• ∂z/∂y = 2(y - 1).

Шаг 2: Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где обе частные производные равны нулю.

• Решаем уравнение 2x = 0, получаем x = 0.
• Решаем уравнение 2(y - 1) = 0, получаем y = 1.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: (0, 1).

Шаг 3: Исследовать вторые производные.

Теперь найдем вторые производные:

• ∂²z/∂x² = 2;
• ∂²z/∂y² = 2;
• ∂²z/∂x∂y = 0.

Шаг 4: Составить матрицу Гессе.

Матрица Гессе H будет выглядеть следующим образом:

• H = | 2 0 |
• | 0 2 |

Шаг 5: Найти определитель матрицы Гессе.

Определитель матрицы H можно вычислить так:

• det(H) = (2)(2) - (0)(0) = 4.

Шаг 6: Определить характер критической точки.

Теперь мы используем критерий второго порядка:

• Если det(H) > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то функция имеет локальный минимум.
• Если det(H) > 0 и ∂²z/∂x² < 0, то функция имеет локальный максимум.
• Если det(H) < 0, то функция имеет седловую точку.

В нашем случае det(H) = 4 > 0 и ∂²z/∂x² = 2 > 0, значит, в точке (0, 1) у нас есть локальный минимум.

Ответ: Функция z = x^2 + (y - 1)^2 имеет локальный минимум в точке (0, 1).