Как найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f на отрезке [a; b], если f(x) = x - 2sin(x), при этом [0; π/2]?

Математика 11 класс Оптимизация функций на отрезке Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция на отрезке решение задачи по математике математика 11 класс Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x) = x - 2sin(x) на отрезке [0; π/2], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции f(x).

   Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

   • Производная от x равна 1.
   • Производная от -2sin(x) равна -2cos(x).

   Таким образом, получаем:

   f'(x) = 1 - 2cos(x)
2. Найти критические точки.

   Для этого приравняем производную к нулю:

   1 - 2cos(x) = 0

   Решим это уравнение:

   • 2cos(x) = 1
   • cos(x) = 1/2

   На интервале [0; π/2] это уравнение имеет решение:

   x = π/3
3. Определить значения функции f(x) на границах отрезка и в критической точке.

   Нам нужно подставить значения x = 0, x = π/2 и x = π/3 в функцию f(x):

   • f(0) = 0 - 2sin(0) = 0
   • f(π/2) = π/2 - 2sin(π/2) = π/2 - 2 ≈ 1.57 - 2 = -0.43
   • f(π/3) = π/3 - 2sin(π/3) = π/3 - 2*(√3/2) = π/3 - √3 ≈ 1.04 - 1.73 = -0.69
4. Сравнить найденные значения.

   Теперь мы сравниваем значения:

   • f(0) = 0
   • f(π/2) ≈ -0.43
   • f(π/3) ≈ -0.69

   Наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2] равно 0 (при x = 0), а наименьшее значение равно -0.69 (при x = π/3).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2] равно 0, а наименьшее значение равно -0.69.