Как найти уравнение касательной к функции y=x^4-3x^3+2x-1 в точке касания, где x=1?

Математика 11 класс Касательные и нормали к графикам функций Уравнение касательной функция y=x^4-3x^3+2x-1 точка касания x=1 математика 11 класс производная нахождение касательной анализ функции график функции Новый

Чтобы найти уравнение касательной к функции y = x^4 - 3x^3 + 2x - 1 в точке касания, где x = 1, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в точке касания:

   Сначала подставим x = 1 в уравнение функции:

   y(1) = 1^4 - 3 * 1^3 + 2 * 1 - 1.

   Теперь вычислим это значение:

   • 1^4 = 1
   • -3 * 1^3 = -3
   • 2 * 1 = 2
   • -1 = -1

   Теперь сложим все значения:

   y(1) = 1 - 3 + 2 - 1 = -1.

   Таким образом, точка касания имеет координаты (1, -1).

2. Найти производную функции:

   Для нахождения углового коэффициента касательной нужно найти производную функции:

   y' = d/dx (x^4 - 3x^3 + 2x - 1).

   Вычислим производную:

   • d/dx (x^4) = 4x^3
   • d/dx (-3x^3) = -9x^2
   • d/dx (2x) = 2
   • d/dx (-1) = 0

   Соберем все вместе:

   y' = 4x^3 - 9x^2 + 2.

3. Вычислить производную в точке x = 1:

   Теперь подставим x = 1 в производную:

   y'(1) = 4 * 1^3 - 9 * 1^2 + 2.

   Вычислим:

   • 4 * 1^3 = 4
   • -9 * 1^2 = -9
   • 2 = 2

   Теперь сложим все значения:

   y'(1) = 4 - 9 + 2 = -3.

   Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -3.

4. Записать уравнение касательной:

   Уравнение касательной можно записать в виде:

   y - y0 = m(x - x0),

   где (x0, y0) - точка касания, а m - угловой коэффициент.

   Подставляем наши значения:

   (x0, y0) = (1, -1), m = -3:

   y - (-1) = -3(x - 1).

   Упростим это уравнение:

   y + 1 = -3x + 3.

   y = -3x + 2.

Ответ: Уравнение касательной к функции y = x^4 - 3x^3 + 2x - 1 в точке касания, где x = 1, равно y = -3x + 2.