Как найти все корни уравнения: z в степени 4 минус 1 равно 0?

Математика 11 класс Уравнения с комплексными числами корни уравнения z в степени 4 z^4 - 1 = 0 решение уравнения комплексные числа математический анализ Новый

Для решения уравнения z в степени 4 минус 1 равно 0, начнем с того, что мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

1. Переписываем уравнение:

z^4 - 1 = 0

2. Приводим уравнение к факторизованному виду:

Мы можем заметить, что z^4 - 1 является разностью квадратов, так как 1 можно представить как 1^2. Поэтому мы можем записать:

(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0

3. Находим корни каждого множителя:

• Для первого множителя z^2 - 1 = 0:
1. Решаем уравнение: z^2 = 1
2. Находим корни: z = ±1
• Для второго множителя z^2 + 1 = 0:
1. Решаем уравнение: z^2 = -1
2. Находим корни: z = ±i, где i - мнимая единица.

4. Собираем все найденные корни:

Таким образом, мы нашли все корни уравнения z^4 - 1 = 0:

• z = 1
• z = -1
• z = i
• z = -i

Итак, окончательный ответ:

Корни уравнения z^4 - 1 = 0: z = 1, -1, i, -i.