Как определить максимальное и минимальное значение функции y=3x(x^2+2) на интервале [0;2]?

Математика 11 класс Оптимизация функции на отрезке максимальное значение функции минимальное значение функции интервал [0;2] функция y=3x(x^2+2) анализ функции Новый

Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции y = 3x(x^2 + 2) на интервале [0; 2], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Мы начнем с того, что найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом произведения:
• y' = 3(x^2 + 2) + 3x(2x) = 3(x^2 + 2 + 2x^2) = 3(3x^2 + 2).
2. Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю:
• 3(3x^2 + 2) = 0.
• 3x^2 + 2 = 0.
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как 3x^2 всегда неотрицательно, а 2 - положительно. Следовательно, критических точек нет.
3. Исследовать значения функции на границах интервала. Поскольку у нас нет критических точек, мы проверим значение функции на границах интервала [0; 2]:
• При x = 0: y(0) = 3 * 0 * (0^2 + 2) = 0.
• При x = 2: y(2) = 3 * 2 * (2^2 + 2) = 3 * 2 * (4 + 2) = 3 * 2 * 6 = 36.
4. Сравнить значения. Теперь мы сравним значения функции на границах интервала:
• y(0) = 0.
• y(2) = 36.
5. Определить максимальное и минимальное значение. Таким образом, минимальное значение функции на интервале [0; 2] равно 0, а максимальное значение равно 36.

Ответ: Минимальное значение функции y = 3x(x^2 + 2) на интервале [0; 2] равно 0, максимальное значение равно 36.