Как определить минимальное и максимальное значение функции y=x^3+3x^2-45x-2 на интервале [-8;9]?

Математика 11 класс Оптимизация функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции y=x^3+3x^2-45x-2 интервал [-8;9] определение экстремумов функции Новый

Чтобы определить минимальное и максимальное значение функции y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 на заданном интервале [-8; 9], необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Найти производную функции.

   Сначала найдем производную функции y по x. Производная поможет нам найти критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы.

   y' = 3x^2 + 6x - 45

2. Найти критические точки.

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   3x^2 + 6x - 45 = 0

   Решим это уравнение. Сначала упростим его, разделив на 3:

   x^2 + 2x - 15 = 0

   Теперь найдем корни с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -15.

   Подставим значения:

   x = (-2 ± √(2^2 - 4*1*(-15))) / (2*1)

   x = (-2 ± √(4 + 60)) / 2

   x = (-2 ± √64) / 2

   x = (-2 ± 8) / 2

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = (6) / 2 = 3
   • x2 = (-10) / 2 = -5
3. Определить значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Теперь нам нужно вычислить значения функции y для критических точек и на границах интервала [-8; 9]:

   • y(-8) = (-8)^3 + 3*(-8)^2 - 45*(-8) - 2
   • y(3) = (3)^3 + 3*(3)^2 - 45*(3) - 2
   • y(-5) = (-5)^3 + 3*(-5)^2 - 45*(-5) - 2
   • y(9) = (9)^3 + 3*(9)^2 - 45*(9) - 2
4. Вычислить значения:

   Теперь подставим значения:

   • y(-8) = -512 + 192 + 360 - 2 = 38
   • y(3) = 27 + 27 - 135 - 2 = -83
   • y(-5) = -125 + 75 + 225 - 2 = 173
   • y(9) = 729 + 243 - 405 - 2 = 565
5. Сравнить значения.

   Теперь сравним все полученные значения:

   • y(-8) = 38
   • y(3) = -83
   • y(-5) = 173
   • y(9) = 565

   Из этих значений видно, что минимальное значение функции на интервале [-8; 9] равно -83, а максимальное значение равно 565.

Ответ: Минимальное значение функции на интервале [-8; 9] равно -83, максимальное значение равно 565.