Как определить область значения и наименьший положительный период функции: y=2cos^4(x)-2sin^4(x)?

Математика 11 класс Периодические функции и их свойства область значения функции наименьший положительный период y=2cos^4(x)-2sin^4(x) математика 11 класс тригонометрические функции Новый

Чтобы определить область значения и наименьший положительный период функции y = 2cos^4(x) - 2sin^4(x), давайте разложим задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Упрощение функции

Мы можем упростить данную функцию, используя тригонометрические тождества. Заметим, что выражение cos^4(x) - sin^4(x) можно представить в виде разности квадратов:

• cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x))
• Поскольку cos^2(x) + sin^2(x) = 1, то:
• cos^4(x) - sin^4(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Таким образом, мы можем переписать функцию как:

y = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Шаг 2: Использование тригонометрических тождеств

Теперь мы можем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством:

cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Следовательно, наша функция становится:

y = 2cos(2x)

Шаг 3: Определение области значения

Функция cos(2x) принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Умножив эти значения на 2, мы получаем:

• Наименьшее значение: 2 * (-1) = -2
• Наибольшее значение: 2 * 1 = 2

Таким образом, область значения функции y = 2cos(2x) будет:

[-2, 2]

Шаг 4: Определение периода функции

Период функции cos(2x) можно определить по формуле для периода косинуса:

Период функции cos(kx) равен 2π/k. В нашем случае k = 2, поэтому:

Период = 2π/2 = π

Итак, итоговые результаты:

• Область значения функции: [-2, 2]
• Наименьший положительный период функции: π