Как построить график функции y=x^2-7x-5|x-3|+12 и выяснить, для каких значений m прямая y=m пересекает график ровно в трех точках?

Математика 11 класс Графики функций и их пересечения график функции y=x^2-7x-5|x-3|+12 прямая y=m пересечение графика значения m три точки пересечения Новый

Чтобы построить график функции y = x^2 - 7x - 5|x - 3| + 12, а также выяснить, для каких значений m прямая y = m пересекает график ровно в трех точках, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Разделение функции на куски

Функция содержит модуль, поэтому сначала нужно рассмотреть два случая:

• Случай 1: x >= 3, тогда |x - 3| = x - 3. Функция становится:
• y = x^2 - 7x - 5(x - 3) + 12 = x^2 - 7x - 5x + 15 + 12 = x^2 - 12x + 27.
• Случай 2: x < 3, тогда |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x. Функция становится:
• y = x^2 - 7x - 5(3 - x) + 12 = x^2 - 7x + 5x - 15 + 12 = x^2 - 2x - 3.

Шаг 2: Построение графиков

Теперь у нас есть два квадратичных уравнения:

• Для x >= 3: y = x^2 - 12x + 27.
• Для x < 3: y = x^2 - 2x - 3.

Чтобы построить графики, найдем вершину парабол и их пересечения с осью y.

Для y = x^2 - 12x + 27:

• Вершина: x = -b/(2a) = 12/2 = 6.
• y(6) = 6^2 - 12*6 + 27 = 36 - 72 + 27 = -9.
• Пересечение с осью y: y(0) = 0^2 - 12*0 + 27 = 27.

Для y = x^2 - 2x - 3:

• Вершина: x = -b/(2a) = 2/2 = 1.
• y(1) = 1^2 - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.
• Пересечение с осью y: y(0) = 0^2 - 2*0 - 3 = -3.

Шаг 3: Определение условий для пересечения с прямой y = m

Теперь мы выясним, при каких значениях m прямая y = m пересечет график функции в трех точках. Это возможно, если:

• Одна из парабол пересекает прямую y = m в двух точках, а другая - в одной.

Для y = x^2 - 12x + 27:

Дискриминант D1 = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4*1* (27 - m) = 144 - 108 + 4m = 36 + 4m.

Для y = x^2 - 2x - 3:

Дискриминант D2 = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-3 - m) = 4 + 12 + 4m = 16 + 4m.

Шаг 4: Условия для пересечения

Для того чтобы прямая пересекала график в трех точках, необходимо:

• D1 > 0 (две точки пересечения для первой параболы)
• D2 = 0 (одна точка пересечения для второй параболы)

Решим эти неравенства:

• Для D1 > 0: 36 + 4m > 0 --> m > -9.
• Для D2 = 0: 16 + 4m = 0 --> m = -4.

Шаг 5: Итоговые значения m

Таким образом, прямая y = m пересекает график функции ровно в трех точках, если:

• -9 < m = -4.

В итоге, прямая может пересекать график функции ровно в трех точках при значениях m в интервале (-9, -4).