Как правильно найти частное решение уравнения 5y′′−6y′+5y=sin(4x)? Пожалуйста, объясните подробно и понятно, так как я вообще 0 в этом.

Математика 11 класс Методы решения дифференциальных уравнений частное решение уравнения 5y′′−6y′+5y=sin(4x) математика 11 класс решение дифференциальных уравнений объяснение математики помощь по математике дифференциальные уравнения для начинающих Новый

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка вида 5y′′−6y′+5y=sin(4x), нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала мы найдем общее решение однородного уравнения, которое получается, если мы приравняем правую часть к нулю:

5y′′−6y′+5y=0.

Это уравнение имеет характерный вид, и мы можем найти его характеристическое уравнение:

5r² - 6r + 5 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-6)² - 4*5*5 = 36 - 100 = -64.

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

• r = (6 ± √(-64)) / (2*5) = (6 ± 8i) / 10 = 0.6 ± 0.8i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = e^(0.6x)(C1*cos(0.8x) + C2*sin(0.8x)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь мы ищем частное решение для уравнения 5y′′−6y′+5y=sin(4x). Поскольку правая часть является синусом, мы можем использовать метод неопределенных коэффициентов.

Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = A*sin(4x) + B*cos(4x),

где A и B - некоторые постоянные, которые нам нужно определить.

Шаг 3: Найти производные частного решения

Теперь мы вычислим первую и вторую производные y_p:

• y_p' = 4A*cos(4x) - 4B*sin(4x),
• y_p'' = -16A*sin(4x) - 16B*cos(4x).

Шаг 4: Подставить в исходное уравнение

Теперь подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

5(-16A*sin(4x) - 16B*cos(4x)) - 6(4A*cos(4x) - 4B*sin(4x)) + 5(A*sin(4x) + B*cos(4x)) = sin(4x).

Упрощая это, мы получим:

-80A*sin(4x) - 80B*cos(4x) - 24A*cos(4x) + 24B*sin(4x) + 5A*sin(4x) + 5B*cos(4x) = sin(4x).

Группируем по синусам и косинусам:

(-80A + 24B + 5A)*sin(4x) + (-80B - 24A + 5B)*cos(4x) = sin(4x).

Шаг 5: Сравнить коэффициенты

Теперь мы сравниваем коэффициенты при sin(4x) и cos(4x):

• -80A + 24B + 5A = 1,
• -80B - 24A + 5B = 0.

Это дает нам систему уравнений:

• -75A + 24B = 1,
• -75B - 24A = 0.

Шаг 6: Решить систему уравнений

Решаем систему уравнений. Из второго уравнения выразим B через A:

B = -24/75*A.

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

-75A + 24*(-24/75*A) = 1.

Упрощая, получаем:

-75A - 576/75*A = 1.

Сложим коэффициенты:

-(75 + 576/75)A = 1.

Теперь найдем A:

A = -75/(75 + 576/75) = -75/(75 + 576/75) = -75/(75*75 + 576)/75 = -75*75/(75*75 + 576).

Теперь подставляем A обратно, чтобы найти B.

Шаг 7: Записать частное решение

После нахождения A и B, мы можем записать частное решение y_p. Затем общее решение будет:

y = y_h + y_p.

Таким образом, мы нашли частное решение уравнения 5y′′−6y′+5y=sin(4x). Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!