Как решить иррациональное уравнение: корень из x плюс 8 минус корень из 7x плюс 9 равно минус 1?

Математика 11 класс Иррациональные уравнения иррациональное уравнение решение уравнения математика 11 класс корень из x корень из 7x алгебра уравнения с корнями Новый

Для решения иррационального уравнения, давайте начнем с того, что запишем его в более удобной форме. Уравнение выглядит так:

√(x + 8) - √(7x + 9) = -1

Первым шагом будет перенести один из корней на другую сторону уравнения. Мы можем перенести √(7x + 9) на правую сторону:

√(x + 8) = √(7x + 9) - 1

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√(x + 8))² = (√(7x + 9) - 1)²

Это дает нам:

x + 8 = (7x + 9) - 2√(7x + 9) + 1

Теперь упростим правую часть:

x + 8 = 7x + 10 - 2√(7x + 9)

Далее, соберем все слагаемые, содержащие x, на одной стороне:

x + 8 - 7x - 10 = -2√(7x + 9)

Это упрощается до:

-6x - 2 = -2√(7x + 9)

Теперь разделим обе стороны на -2, чтобы избавиться от коэффициента:

3x + 1 = √(7x + 9)

Снова возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(3x + 1)² = (√(7x + 9))²

Это дает нам:

9x² + 6x + 1 = 7x + 9

Теперь приведем все к одной стороне:

9x² + 6x + 1 - 7x - 9 = 0

Упрощаем уравнение:

9x² - x - 8 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае a = 9, b = -1, c = -8. Подставим значения:

D = (-1)² - 4 * 9 * (-8) = 1 + 288 = 289

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x = (1 ± √289) / (2 * 9)

√289 = 17, следовательно:

x = (1 + 17) / 18 или x = (1 - 17) / 18

Это дает нам два корня:

• x₁ = 18 / 18 = 1
• x₂ = -16 / 18 = -8/9

Теперь нам нужно проверить, являются ли эти корни решениями исходного уравнения, так как мы могли ввести extraneous solutions при возведении в квадрат.

Подставим x₁ = 1:

√(1 + 8) - √(7 * 1 + 9) = √9 - √16 = 3 - 4 = -1. Это решение верно.

Теперь подставим x₂ = -8/9:

√(-8/9 + 8) - √(7 * (-8/9) + 9) = √(64/9) - √(1) = 8/3 - 1 = 8/3 - 3/3 = 5/3. Это не равно -1, значит, это решение не подходит.

Таким образом, единственным решением данного иррационального уравнения является:

x = 1