Как решить неравенство f`(x) > 0 для функции f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1, используя следующие правила: 1) Найти область определения и выяснить, является ли функция непрерывной. 2) Найти производную y`(x). 3) Решить уравнение y`(x) = 0. 4) Построить диаграмму производной y`(x). 5) Определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Неравенства и производные функций неравенство производная область определения непрерывность функции уравнение монотонность функции диаграмма производной признаки возрастания признаки убывания Новый

Чтобы решить неравенство f`(x) > 0 для функции f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1, следуем указанным шагам:

1) Найти область определения и выяснить, является ли функция непрерывной.

• Функция f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1 является многочленом третьей степени.
• Область определения многочлена - все действительные числа, то есть x ∈ R.
• Многочлены являются непрерывными на всей своей области определения, следовательно, f(x) непрерывна.

2) Найти производную y`(x).

• Для нахождения производной используем правило дифференцирования: d/dx (ax^n) = n*ax^(n-1).
• Вычисляем производную:
• y`(x) = d/dx (12x^3) - d/dx (18x^2) - d/dx (7x) + d/dx (1)
• y`(x) = 36x^2 - 36x - 7.

3) Решить уравнение y`(x) = 0.

• Приравниваем производную к нулю:
• 36x^2 - 36x - 7 = 0.
• Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 36, b = -36, c = -7.
• Находим дискриминант: D = (-36)^2 - 4 * 36 * (-7) = 1296 + 1008 = 2304.
• Теперь находим корни:
• x1 = (36 + √2304) / (2 * 36) и x2 = (36 - √2304) / (2 * 36).
• √2304 = 48, следовательно:
• x1 = (36 + 48) / 72 = 84 / 72 = 7/6 и x2 = (36 - 48) / 72 = -12 / 72 = -1/6.

4) Построить диаграмму производной y`(x).

• Корни производной: x1 = 7/6 и x2 = -1/6.
• Теперь определим знаки производной на интервалах: (-∞, -1/6), (-1/6, 7/6), (7/6, +∞).
• Выбираем тестовые точки:
• Для (-∞, -1/6): x = -1, y'(-1) = 36*(-1)^2 - 36*(-1) - 7 = 36 + 36 - 7 = 65 > 0.
• Для (-1/6, 7/6): x = 0, y'(0) = 36*0^2 - 36*0 - 7 = -7 < 0.
• Для (7/6, +∞): x = 2, y'(2) = 36*2^2 - 36*2 - 7 = 144 - 72 - 7 = 65 > 0.

5) Определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции.

• На интервале (-∞, -1/6) функция возрастает (y' > 0).
• На интервале (-1/6, 7/6) функция убывает (y' < 0).
• На интервале (7/6, +∞) функция снова возрастает (y' > 0).

Таким образом, неравенство f`(x) > 0 выполняется на интервалах (-∞, -1/6) и (7/6, +∞).