Решите неравенство f`(x) > 0, где f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1

Математика 11 класс Неравенства и производные функций неравенство f'(x) > 0 f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1 решение неравенства производная функции математика анализ функции Новый

Привет! Давай разберемся с этим неравенством шаг за шагом.

Сначала найдем производную функции f(x). Напомним, что f(x) = 12x^3 - 18x^2 - 7x + 1. Производная f'(x) будет:

• f'(x) = 36x^2 - 36x - 7.

Теперь нам нужно решить неравенство f'(x) > 0, то есть:

• 36x^2 - 36x - 7 > 0.

Для этого давай найдем корни квадратного уравнения 36x^2 - 36x - 7 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 * 36 * (-7) = 1296 + 1008 = 2304.

Теперь найдем корни:

• x1 = (36 + sqrt(2304)) / (2 * 36) = (36 + 48) / 72 = 84 / 72 = 7/6.
• x2 = (36 - sqrt(2304)) / (2 * 36) = (36 - 48) / 72 = -12 / 72 = -1/6.

Теперь у нас есть корни x1 = 7/6 и x2 = -1/6. Теперь нужно определить, где функция f'(x) положительна. Для этого проверим знаки на интервалах:

• (-∞, -1/6)
• (-1/6, 7/6)
• (7/6, +∞)

Выбираем тестовые точки:

• Для x = -1 (в интервале (-∞, -1/6)): f'(-1) = 36(-1)^2 - 36(-1) - 7 = 36 + 36 - 7 = 65 > 0.
• Для x = 0 (в интервале (-1/6, 7/6)): f'(0) = 36(0)^2 - 36(0) - 7 = -7 < 0.
• Для x = 2 (в интервале (7/6, +∞)): f'(2) = 36(2)^2 - 36(2) - 7 = 144 - 72 - 7 = 65 > 0.

Итак, мы видим, что:

• f'(x) > 0 на интервалах (-∞, -1/6) и (7/6, +∞).
• f'(x) < 0 на интервале (-1/6, 7/6).

Таким образом, решение неравенства f'(x) > 0 будет:

x ∈ (-∞, -1/6) ∪ (7/6, +∞)

Надеюсь, это помогло! Если есть еще вопросы, спрашивай!