Как решить показательное неравенство: 25^(x-1/2) - 26*5^(x-1) + 5 >= 0?

Математика 11 класс Показательные неравенства показательное неравенство решение неравенства математика 11 класс 25^(x-1/2) 5^(x-1) математические задачи algebra неравенства подготовка к экзаменам уроки математики Новый

Для решения показательного неравенства 25^(x - 1/2) - 26*5^(x - 1) + 5 >= 0 начнем с упрощения выражения.

Во-первых, заметим, что 25 можно представить как 5 в квадрате, то есть 25 = 5^2. Поэтому мы можем переписать первое слагаемое:

• 25^(x - 1/2) = (5^2)^(x - 1/2) = 5^(2(x - 1/2)) = 5^(2x - 1).

Теперь переписываем неравенство:

5^(2x - 1) - 26*5^(x - 1) + 5 >= 0

Далее, заменим 5^(x) на y, что даст нам:

• 5^(2x) = (5^(x))^2 = y^2,
• 5^(x - 1) = 5^(x)/5 = y/5.

Теперь подставим эти замены в неравенство:

y^2 - 26*(y/5) + 5 >= 0

Умножим все слагаемые на 5 (учитывая, что 5 > 0, знак неравенства не изменится):

5y^2 - 26y + 25 >= 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения найдем корни уравнения 5y^2 - 26y + 25 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4*5*25 = 676 - 500 = 176.

Теперь найдем корни:

• y1,2 = (26 ± √176) / (2*5).

Вычислим корни:

• √176 = 4√11,
• y1 = (26 + 4√11) / 10,
• y2 = (26 - 4√11) / 10.

Теперь определим знаки квадратного трёхчлена 5y^2 - 26y + 25. Он будет положителен вне интервала между корнями и отрицателен внутри этого интервала.

Таким образом, неравенство 5y^2 - 26y + 25 >= 0 выполняется при:

• y ≤ (26 - 4√11) / 10 или y ≥ (26 + 4√11) / 10.

Теперь возвращаемся к переменной y = 5^x. Мы можем записать два неравенства:

• 5^x ≤ (26 - 4√11) / 10,
• 5^x ≥ (26 + 4√11) / 10.

Теперь решим каждое из этих неравенств:

1. Для первого неравенства 5^x ≤ (26 - 4√11) / 10:

• Нужно проверить, является ли (26 - 4√11) / 10 положительным числом. Если да, то мы можем взять логарифм.

2. Для второго неравенства 5^x ≥ (26 + 4√11) / 10:

• Здесь мы также можем взять логарифм, так как (26 + 4√11) / 10 будет положительным.

Таким образом, мы получили два интервала для x. В итоге, решение неравенства будет в виде объединения этих интервалов.