Как решить систему уравнений методом Гаусса: 2x - y - 7z = 1, 4x - y - 11z = 3, x - 2z = 1, 3x - y - 9z = 2?

Математика 11 класс Системы линейных уравнений система уравнений метод Гаусса решение уравнений 11 класс математика линейные уравнения математические методы алгебра Система линейных уравнений Новый

Для решения системы уравнений методом Гаусса, мы будем преобразовывать данную систему к треугольному виду, а затем решать получившуюся систему поэтапно. Давайте начнем с записи системы уравнений:

• 2x - y - 7z = 1 (1)
• 4x - y - 11z = 3 (2)
• x - 2z = 1 (3)
• 3x - y - 9z = 2 (4)

Теперь мы запишем это в виде расширенной матрицы:

• [ 2 -1 -7 | 1 ]
• [ 4 -1 -11 | 3 ]
• [ 1 0 -2 | 1 ]
• [ 3 -1 -9 | 2 ]

Теперь начнем преобразовывать эту матрицу. Первым шагом мы можем использовать третье уравнение, чтобы сделать нулевые элементы под первым элементом в первом столбце:

1. Умножим третье уравнение на 2 и вычтем из первого:
2. Умножим третье уравнение на 4 и вычтем из второго:
3. Умножим третье уравнение на 3 и вычтем из четвертого:

Выполнив эти операции, мы получим новую матрицу:

• [ 2 -1 -7 | 1 ]
• [ 0 1 1 | 1 ]
• [ 0 1 2 | -1 ]
• [ 0 2 -3 | -1 ]

Теперь мы можем продолжить преобразование. Вычтем второе уравнение из третьего и умножим второе на 2 и вычтем из четвертого:

• Третье уравнение: 0 - 1 - 2 = -1 -> 0 1 1 | 1 - 1 = 0
• Четвертое уравнение: 0 - 2 - 3 = -1 -> 0 2 - 3 - 2 = 1

Теперь у нас есть следующая матрица:

• [ 2 -1 -7 | 1 ]
• [ 0 1 1 | 1 ]
• [ 0 0 1 | 0 ]
• [ 0 0 -5 | -1 ]

Теперь мы можем выразить переменные, начиная с последнего уравнения:

1. Из третьего уравнения: z = 0.
2. Подставим z в четвертое уравнение: 0 - 5z = -1 => 0 = -1 (что неверно), следовательно, система несовместна.

Таким образом, мы пришли к выводу, что данная система уравнений не имеет решения. Важно помнить, что метод Гаусса позволяет не только находить решения, но и выявлять случаи несовместности системы.