Как решить уравнение log4 (2^2x-√3 cos x-6sin^2x)=x на интервале [5/2pi;4pi]?

Математика 11 класс Логарифмы и тригонометрия решение уравнения Логарифмическое уравнение интервал [5/2pi;4pi] математика уравнения с логарифмами Новый

Для решения уравнения log4 (2^2x - √3 cos x - 6sin^2 x) = x на интервале [5/2π; 4π], выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме. Поскольку логарифм с основанием 4 можно выразить через логарифм с основанием 2, мы можем использовать свойство логарифмов:
• log4(a) = log2(a) / log2(4) = log2(a) / 2.
2. Применим это свойство к нашему уравнению:
• log2(2^2x - √3 cos x - 6sin^2 x) / 2 = x.
3. Умножим обе стороны на 2:
• log2(2^2x - √3 cos x - 6sin^2 x) = 2x.
4. Перейдем к экспоненциальной форме: Поскольку log2(a) = b означает, что a = 2^b, то:
• 2^2x = 2^2x - √3 cos x - 6sin^2 x.
5. Упростим уравнение:
• 0 = -√3 cos x - 6sin^2 x.
6. Решим это уравнение: Перепишем его в более удобной форме:
• √3 cos x + 6sin^2 x = 0.
7. Выразим sin^2 x через cos x: Используя тригонометрическую идентичность sin^2 x = 1 - cos^2 x, получим:
• √3 cos x + 6(1 - cos^2 x) = 0.
8. Приведем уравнение к стандартному виду:
• 6cos^2 x - √3 cos x - 6 = 0.
9. Решим квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения:
• cos x = [√3 ± √(3 + 144)] / 12.
10. Упростим выражение под корнем:
• √(147) = √(49 * 3) = 7√3.
11. Подставим это значение:
• cos x = [√3 ± 7√3] / 12.
12. Решим для двух случаев:
• cos x = (8√3) / 12 = 2√3 / 3 (первый случай);
• cos x = (-6√3) / 12 = -√3 / 2 (второй случай).
13. Теперь найдем значения x для каждого случая:
• Для cos x = 2√3 / 3: x не имеет решения, так как 2√3 / 3 > 1.
• Для cos x = -√3 / 2: x = 5π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число.
14. Найдём подходящие значения x на интервале [5/2π; 4π]:
• 5π/6 + 2kπ не попадает в интервал;
• 7π/6 + 2kπ для k = 1: 7π/6 + 2π = 7π/6 + 12π/6 = 19π/6 (это больше 4π);
• k = 0: 7π/6 (это меньше 5/2π);
• k = 2: 7π/6 + 4π = 7π/6 + 24π/6 = 31π/6 (это больше 4π).

Таким образом, уравнение не имеет решений на заданном интервале [5/2π; 4π].