Каковы решения следующих задач по математике?

1. Вычислите: log основание 2 96 - log основание 2 3 - log основание 9 81.
2. Решите уравнение: log основание 7 (9 - х) = 2.
3. В какой четверти находится угол А, если А = 380 градусов?
4. Найдите значение cos угла A, если известно, что: sin a = -0,6 и 3π/2 или = 125.
5. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 на конференцию. Сколько способов это можно сделать?
6. Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно в точках D и E, причем АС параллельно а. Найдите АС, если BD:AD=5:4 и DE=10 см.
7. Решите уравнение: 2 sin x = 1.
8. Вычислите скалярное произведение векторов: вектор a {3; -6; 1} и вектор b {9; 2; -3}.
9. Из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр AH = 12 и наклонная AM = 15. Найдите проекцию наклонной на плоскость а.
10. Решите уравнение: log основание 1/5 (x^2 - 4x) = -1.
11. Решите неравенство: log основание 2 (x+7) >= log основание 2 (3-x).
12. Решите уравнение: cos^2 x - 5 cos x - 6 = 0.
13. Упростите уравнение: 2 sin (π+a) * sin (3π/2-a) + tg (π-a) * ctg (2π + a).

Математика 11 класс Логарифмы и тригонометрия математика 11 класс логарифмы Тригонометрия уравнения неравенства векторы комбинаторика скалярное произведение Углы проекции Новый

1. Вычислите: log основание 2 96 - log основание 2 3 - log основание 9 81.

Сначала воспользуемся свойством логарифмов: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c).

1. log основание 2 (96/3) - log основание 9 (81).
2. Теперь вычислим 96/3 = 32, тогда получаем: log основание 2 (32) - log основание 9 (81).
3. log основание 2 (32) = 5, так как 2^5 = 32.
4. log основание 9 (81) = 2, так как 9^2 = 81.
5. Теперь подставим значения: 5 - 2 = 3.

Ответ: 3.

2. Решите уравнение: log основание 7 (9 - х) = 2.

1. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме: 9 - х = 7^2.
2. 7^2 = 49, значит: 9 - х = 49.
3. Решаем уравнение: х = 9 - 49 = -40.

Ответ: х = -40.

3. В какой четверти находится угол A, если A = 380 градусов?

1. Чтобы определить четверть, сначала найдем эквивалентный угол в пределах 0-360 градусов: 380 - 360 = 20 градусов.
2. Угол 20 градусов находится в первой четверти.

Ответ: первая четверть.

4. Найдите значение cos угла A, если известно, что: sin A = -0,6 и A = 3π/2 или A = 125.

1. Если A = 3π/2 (270 градусов), то cos(3π/2) = 0.
2. Если A = 125 градусов, то находим cos A с использованием формулы: cos^2 A + sin^2 A = 1.
3. cos^2 A = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64.
4. cos A = ±√0,64 = ±0,8. Угол 125 градусов находится во второй четверти, где cos отрицательный, значит, cos A = -0,8.

Ответ: cos A = -0,8 (для A = 125 градусов) и cos(3π/2) = 0.

5. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 на конференцию. Сколько способов это можно сделать?

Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n - общее количество кандидатов, k - количество выбираемых кандидатов.

1. C(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120.

Ответ: 120 способов.

6. Найдите AC, если BD:AD=5:4 и DE=10 см.

Пусть BD = 5x и AD = 4x. Тогда AC = BD + AD = 5x + 4x = 9x.

Так как DE = 10 см, то DE = AC * (BD / (BD + AD)) = AC * (5/9).

Тогда 10 = AC * (5/9), откуда AC = 10 * (9/5) = 18 см.

Ответ: AC = 18 см.

7. Решите уравнение: 2 sin x = 1.

1. Разделим обе стороны на 2: sin x = 1/2.
2. Угол x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Ответ: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

8. Вычислите скалярное произведение векторов: вектор a {3; -6; 1} и вектор b {9; 2; -3}.

1. Скалярное произведение определяется как a · b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.
2. Подставим значения: 3*9 + (-6)*2 + 1*(-3) = 27 - 12 - 3 = 12.

Ответ: 12.

9. Найдите проекцию наклонной на плоскость, если AH = 12 и AM = 15.

1. Используем теорему Пифагора: проекция = √(AM^2 - AH^2).
2. Проекция = √(15^2 - 12^2) = √(225 - 144) = √81 = 9.

Ответ: проекция = 9.

10. Решите уравнение: log основание 1/5 (x^2 - 4x) = -1.

1. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме: x^2 - 4x = (1/5)^-1 = 5.
2. Получаем квадратное уравнение: x^2 - 4x - 5 = 0.
3. Решаем его по формуле: x = (4 ± √(16 + 20)) / 2 = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2.
4. Получаем x1 = 5 и x2 = -1.

Ответ: x = 5 и x = -1.

11. Решите неравенство: log основание 2 (x+7) >= log основание 2 (3-x).

1. Поскольку логарифм - функция, сохраняющая порядок, неравенство можно переписать как: x + 7 >= 3 - x.
2. Решим: 2x >= -4, x >= -2.
3. При этом x + 7 > 0 и 3 - x > 0, что дает x > -7 и x < 3.
4. Таким образом, x принадлежит интервалу (-2, 3).

Ответ: -2 <= x < 3.

12. Решите уравнение: cos^2 x - 5 cos x - 6 = 0.

1. Обозначим cos x как y. Уравнение преобразуется в y^2 - 5y - 6 = 0.
2. Решаем квадратное уравнение: y = (5 ± √(25 + 24)) / 2 = (5 ± 7) / 2.
3. Получаем y1 = 6 и y2 = -1. Значит, cos x = 6 (недопустимо) и cos x = -1.
4. cos x = -1, значит x = π + 2kπ, где k - целое число.

Ответ: x = π + 2kπ.

13. Упростите уравнение: 2 sin (π+a) * sin (3π/2-a) + tg (π-a) * ctg (2π + a).

1. Используем тригонометрические тождества: sin(π + a) = -sin a и sin(3π/2 - a) = -cos a.
2. Заменяем: 2 * (-sin a) * (-cos a) = 2sin a cos a = sin(2a).
3. tg(π-a) = -tg a и ctg(2π + a) = ctg a, тогда: (-tg a)(ctg a) = -1.
4. Таким образом, уравнение упрощается до: sin(2a) - 1.

Ответ: sin(2a) - 1.