Чтобы определить, какие из заданных функций являются возрастающими на всей числовой прямой, нам нужно рассмотреть их производные. Если производная функции положительна на всем интервале, то функция является возрастающей.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности:

• а) y = 5^x

Производная: y' = 5^x * ln(5). Поскольку 5^x всегда положительно и ln(5) > 0, то y'> 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• б) y = (1/3)^x

Производная: y' = (1/3)^x * ln(1/3). Поскольку ln(1/3) < 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• в) y = 2^{-x}

Производная: y' = 2^{-x}* ln(2^{-1}) = -2^{-x}* ln(2). Поскольку ln(2) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• г) y = 10^x

Производная: y' = 10^x * ln(10). Поскольку 10^x всегда положительно и ln(10) > 0, то y'> 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• д) y = (1/2)^{-x}

Производная: y' = (1/2)^{-x}* ln(2^{-1}) = - (1/2)^{-x}* ln(2). Поскольку ln(2) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• е) y = 4^{x-1}

Производная: y' = 4^{x-1}* ln(4). Поскольку 4^{x-1}всегда положительно и ln(4) > 0, то y'> 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• ж) y = 3^{1-x}

Производная: y' = 3^{1-x}* ln(3^{-1}) = -3^{1-x}* ln(3). Поскольку ln(3) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• з) y = 0.9^x

Производная: y' = 0.9^x * ln(0.9). Поскольку ln(0.9) < 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

Итак, возрастающими функциями на всей числовой прямой являются:

• y = 5^x
• y = 10^x
• y = 4^{x-1}