Какие из следующих функций являются возрастающими на всей числовой прямой:

1. а) y = 5^{x};
2. б) y = (1/3)^{x};
3. в) y = 2^{-x};
4. г) y = 10^{x};
5. д) y = (1/2)^{-x};
6. е) y = 4^{x-1};
7. ж) y = 3^{1-x};
8. з) y = 0,9^{x}.

Математика 11 класс Экспоненциальные функции возрастающие функции математика 11 класс числовая прямая функции y анализ функций экспоненциальные функции свойства функций Новый

Чтобы определить, какие из заданных функций являются возрастающими на всей числовой прямой, нам нужно рассмотреть их производные. Если производная функции положительна на всем интервале, то функция является возрастающей.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности:

• а) y = 5^x

Производная: y' = 5^x * ln(5). Поскольку 5^x всегда положительно и ln(5) > 0, то y' > 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• б) y = (1/3)^x

Производная: y' = (1/3)^x * ln(1/3). Поскольку ln(1/3) < 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• в) y = 2^{-x}

Производная: y' = 2^{-x} * ln(2^{-1}) = -2^{-x} * ln(2). Поскольку ln(2) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• г) y = 10^x

Производная: y' = 10^x * ln(10). Поскольку 10^x всегда положительно и ln(10) > 0, то y' > 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• д) y = (1/2)^{-x}

Производная: y' = (1/2)^{-x} * ln(2^{-1}) = - (1/2)^{-x} * ln(2). Поскольку ln(2) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• е) y = 4^{x-1}

Производная: y' = 4^{x-1} * ln(4). Поскольку 4^{x-1} всегда положительно и ln(4) > 0, то y' > 0 для всех x. Следовательно, функция является возрастающей.

• ж) y = 3^{1-x}

Производная: y' = 3^{1-x} * ln(3^{-1}) = -3^{1-x} * ln(3). Поскольку ln(3) > 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

• з) y = 0.9^x

Производная: y' = 0.9^x * ln(0.9). Поскольку ln(0.9) < 0, то y' < 0 для всех x. Следовательно, функция является убывающей.

Итак, возрастающими функциями на всей числовой прямой являются:

• y = 5^x
• y = 10^x
• y = 4^{x-1}