Чтобы найти максимальное значение функции y = x³ - 3x, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Производная функции поможет нам определить, где функция достигает локальных максимумов и минимумов. Вычислим производную:
• y' = 3x² - 3.
2. Найти критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:
• 3x² - 3 = 0.
• 3x² = 3.
• x² = 1.
• x = ±1.
3. Определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом. Для этого используем второй производной тест:
• Вычислим вторую производную: y'' = 6x.
• Подставим критические точки:
• Для x = 1: y''(1) = 6 * 1 = 6 (положительное значение, значит, это минимум).
• Для x = -1: y''(-1) = 6 * (-1) = -6 (отрицательное значение, значит, это максимум).
4. Найти значение функции в критических точках. Теперь подставим найденные критические точки в исходную функцию:
• y(1) = 1³ - 3 * 1 = 1 - 3 = -2.
• y(-1) = (-1)³ - 3 * (-1) = -1 + 3 = 2.
5. Сравнить найденные значения. Мы нашли значения функции в критических точках:
• y(1) = -2 (минимум).
• y(-1) = 2 (максимум).

Таким образом, максимальное значение функции y = x³ - 3x равно 2 и достигается при x = -1.