Какое множество значений свободной переменной необходимо найти, чтобы предикаты были истинными:

1. a. ∀x(x+|y|>2)→(x+y>3).
2. b. ∀y: x²−y²=1;
3. c. ∃x(a²−1)x=a+1.

Математика 11 класс Логика и предикаты множество значений свободная переменная предикаты истинные предикаты математика логика условия истинности математическая логика Новый

Давайте разберем каждое из предложенных предикатов и определим, какое множество значений свободной переменной необходимо найти для того, чтобы предикаты были истинными.

a. ∀x(x+|y|>2)→(x+y>3)

В этом случае мы имеем предикат, который зависит от двух переменных: x и y. Мы анализируем условие:

1. Для того чтобы предикат был истинным, необходимо, чтобы для каждого значения x из множества действительных чисел выполнялось неравенство x + |y| > 2.
2. Также должно выполняться следующее: если x + |y| > 2, то x + y > 3.

Чтобы найти множество значений для y, рассмотрим два случая:

• Если y ≥ 0, то |y| = y. Это приводит к неравенству x + y > 2. Таким образом, x + y > 3 будет истинно, если y > 3 - x.
• Если y < 0, то |y| = -y. Здесь x - y > 2, что приводит к неравенству x + y > 3, которое, в свою очередь, требует, чтобы y < x - 3.

Таким образом, для разных значений y мы можем получить различные условия для x. В общем случае, множество значений y зависит от x.

b. ∀y: x²−y²=1

Здесь мы имеем предикат, который утверждает, что для любого y выполняется равенство x² - y² = 1. Это равенство можно переписать как:

x² = y² + 1.

Теперь, чтобы x² было положительным, y² должно быть не больше, чем x² - 1. Следовательно, y² должно быть меньше или равно 1. Это означает, что y может принимать значения в диапазоне:

• y ∈ (-1, 1).

Таким образом, множество значений y, при которых предикат будет истинным, - это интервал от -1 до 1.

c. ∃x(a²−1)x=a+1

В данном случае мы ищем такие значения x, которые удовлетворяют уравнению (a² - 1)x = a + 1. Для того чтобы существовало хотя бы одно значение x, необходимо, чтобы коэффициент (a² - 1) не равнялся нулю, иначе уравнение не будет иметь решения.

1. Если a² - 1 ≠ 0, то мы можем выразить x как:
2. x = (a + 1) / (a² - 1).

Это уравнение имеет решение для любого значения a, кроме тех, для которых a² - 1 = 0, то есть a ≠ 1 и a ≠ -1. Таким образом, множество значений a, для которых предикат будет истинным, будет:

• a ∈ R, a ≠ 1, a ≠ -1.

В заключение, мы рассмотрели все три предиката и определили условия для свободных переменных, при которых они будут истинными.