Для нахождения наибольшего значения выражения x₀² + y₀², где (x₀, y₀) является решением данной системы уравнений, начнем с решения системы:

1. Первое уравнение: x² + y² + 2x + 2y = 11.
2. Второе уравнение: x - xy + y = 1.

Сначала упростим первое уравнение. Мы можем его переписать в более удобной форме:

x² + 2x + y² + 2y = 11

Теперь выделим полный квадрат:

(x + 1)² - 1 + (y + 1)² - 1 = 11

Это упростится до:

(x + 1)² + (y + 1)² = 13

Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-1, -1) и радиусом √13.

Теперь рассмотрим второе уравнение: x - xy + y = 1. Мы можем выразить y через x:

y = (x + 1) / (x + 1)

Однако, это уравнение не так просто решить, поэтому давайте подставим значение y из второго уравнения в первое.

Из второго уравнения выразим y:

y = 1 - x + xy

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

x² + (1 - x + xy)² + 2x + 2(1 - x + xy) = 11

Это уравнение будет довольно сложным, поэтому давайте попробуем найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям, перебором.

Подставляя несколько значений, мы можем найти, что:

• Если x = 1, то y = 0 (проверяем: 1² + 0² + 2*1 + 2*0 = 3, не подходит).
• Если x = 2, то y = -1 (проверяем: 2² + (-1)² + 2*2 + 2*(-1) = 11, подходит).
• Если x = -1, то y = 2 (проверяем: (-1)² + 2² + 2*(-1) + 2*2 = 11, подходит).

Теперь у нас есть два решения: (2, -1) и (-1, 2).

Теперь найдем x₀² + y₀² для этих точек:

• Для (2, -1): 2² + (-1)² = 4 + 1 = 5.
• Для (-1, 2): (-1)² + 2² = 1 + 4 = 5.

Таким образом, наибольшее значение выражения x₀² + y₀² равно 5.

Ответ: 5.