Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции Z = x² - 4xy + 2y в треугольнике ABC с вершинами A(1; -1), B(1; 0), C(0; 1), мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определение области определения функции:

   Функция Z является полиномиальной и определена для всех значений x и y. Однако, так как мы ограничены треугольником ABC, нам нужно учитывать только значения x и y, которые лежат внутри этого треугольника.

2. Нахождение значений функции в вершинах треугольника:

   Сначала вычислим значение функции Z в каждой из вершин треугольника:

   • В точке A(1; -1):

   Z(1, -1) = 1² - 4 * 1 * (-1) + 2 * (-1) = 1 + 4 - 2 = 3

   • В точке B(1; 0):

   Z(1, 0) = 1² - 4 * 1 * 0 + 2 * 0 = 1

   • В точке C(0; 1):

   Z(0, 1) = 0² - 4 * 0 * 1 + 2 * 1 = 2

3. Нахождение значений функции на границах треугольника:

   Теперь нужно исследовать границы треугольника, состоящие из отрезков AB, BC и CA.

   • Отрезок AB: Здесь x = 1, y изменяется от -1 до 0.

   Подставляем x = 1 в функцию:

   Z(1, y) = 1 - 4 * 1 * y + 2 * y = 1 - 2y.

   Значения при y = -1 и y = 0:

   • Z(1, -1) = 3 (уже найдено)
   • Z(1, 0) = 1 (уже найдено)
   • Отрезок BC: Здесь y = 1 - x, x изменяется от 0 до 1.

   Подставляем y = 1 - x в функцию:

   Z(x, 1 - x) = x² - 4x(1 - x) + 2(1 - x) = x² - 4x + 4x² + 2 - 2x = 5x² - 6x + 2.

   Теперь находим производную и находим критические точки:

   Z'(x) = 10x - 6 = 0 -> x = 0.6.

   Теперь подставим x = 0.6 в Z:

   Z(0.6, 1 - 0.6) = Z(0.6, 0.4) = 5(0.6)² - 6(0.6) + 2 = 1.8 - 3.6 + 2 = 0.2.

   Теперь проверим концы отрезка:

   • Z(0, 1) = 2 (уже найдено)
   • Z(1, 0) = 1 (уже найдено)
   • Отрезок CA: Здесь x = 1 - y, y изменяется от -1 до 1.

   Подставляем x = 1 - y в функцию:

   Z(1 - y, y) = (1 - y)² - 4(1 - y)y + 2y = 1 - 2y + y² - 4y + 4y² + 2y = 5y² - 3y + 1.

   Находим производную и критические точки:

   Z'(y) = 10y - 3 = 0 -> y = 0.3.

   Теперь подставим y = 0.3 в Z:

   Z(1 - 0.3, 0.3) = Z(0.7, 0.3) = 5(0.3)² - 3(0.3) + 1 = 0.45 - 0.9 + 1 = 0.55.

   Теперь проверим концы отрезка:

   • Z(1, -1) = 3 (уже найдено)
   • Z(0, 1) = 2 (уже найдено)
4. Сравнение значений:

   Теперь у нас есть все значения функции:

   • Z(1, -1) = 3
   • Z(1, 0) = 1
   • Z(0, 1) = 2
   • Z(0.6, 0.4) = 0.2
   • Z(0.7, 0.3) = 0.55

   Наименьшее значение: 0.2

   Наибольшее значение: 3

Таким образом, наименьшее значение функции Z в треугольнике ABC равно 0.2, а наибольшее значение равно 3.