Какова площадь боковой и полная площадь поверхности пирамиды DABC, если основание пирамиды представляет собой правильный треугольник ABC со стороной 4, ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, а плоскость DBC образует угол 30 градусов с плоскостью ABC?

Математика 11 класс Площадь поверхности пирамиды площадь пирамиды боковая площадь пирамиды полная площадь пирамиды правильный треугольник основание пирамиды Угол между плоскостями математика 11 класс геометрия пирамиды Новый

Чтобы найти боковую и полную площадь поверхности пирамиды DABC, начнем с анализа ее структуры. Основание пирамиды - это правильный треугольник ABC со стороной 4. Ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, а плоскость DBC образует угол 30 градусов с плоскостью ABC.

Шаг 1: Найдем площадь основания треугольника ABC.

• Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: P = (a^2 * √3) / 4, где a - сторона треугольника.
• Подставим значение стороны: P = (4^2 * √3) / 4 = (16 * √3) / 4 = 4√3.

Шаг 2: Найдем высоту ребра DA.

• Так как плоскость DBC образует угол 30 градусов с плоскостью ABC, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты DA.
• Обозначим высоту DA как h. Угол между DA и плоскостью ABC равен 90 градусов, а угол между DA и DBC равен 30 градусов.
• Используя тангенс угла, имеем: tan(30) = h / (средняя линия треугольника ABC).
• Средняя линия треугольника ABC равна 2√3 (так как это половина основания высоты треугольника). Таким образом, h = 2√3 * tan(30) = 2√3 * (1/√3) = 2.

Шаг 3: Найдем боковую площадь поверхности пирамиды.

• Боковая площадь состоит из трех треугольников: DAB, DAC и DBC.
• Для нахождения площади каждого из треугольников используем формулу: P = (1/2) * основание * высота.
• Площадь треугольника DAB: основание AB = 4, высота DA = 2. P_DAB = (1/2) * 4 * 2 = 4.
• Площадь треугольника DAC: аналогично, P_DAC = (1/2) * AC * DA = 4.
• Для треугольника DBC нужно найти высоту. Поскольку угол между плоскостями 30 градусов, высота будет h_DBC = DA * sin(30) = 2 * (1/2) = 1.
• Площадь треугольника DBC: основание BC = 4, P_DBC = (1/2) * 4 * 1 = 2.
• Сложим все площади: B = P_DAB + P_DAC + P_DBC = 4 + 4 + 2 = 10.

Шаг 4: Найдем полную площадь поверхности пирамиды.

• Полная площадь поверхности равна сумме площадей основания и боковой площади: S_total = S_base + S_lateral.
• Подставим значения: S_total = 4√3 + 10.

Итак, окончательный ответ:

• Боковая площадь поверхности пирамиды: 10.
• Полная площадь поверхности пирамиды: 4√3 + 10.