Какова площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если высота равна 12 см, а апофема составляет 15 см?

Математика 11 класс Площадь поверхности пирамиды площадь полной поверхности правильная четырехугольная пирамида высота 12 см апофема 15 см задача по математике геометрия формулы для пирамиды Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и площадь боковых граней. Давайте разберем это по шагам.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Площадь квадрата рассчитывается по формуле:

Площадь основания = a²,

где a - длина стороны квадрата.

Для нахождения длины стороны квадрата (a) мы можем использовать высоту (h) и апофему (l) пирамиды. В правильной пирамиде высота, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора:

l² = (a/2)² + h².

Подставим известные значения:

15² = (a/2)² + 12².

225 = (a/2)² + 144.

Теперь вычтем 144 из обеих сторон:

225 - 144 = (a/2)².

81 = (a/2)².

Теперь найдем a/2:

a/2 = √81 = 9.

Умножим на 2, чтобы найти a:

a = 2 * 9 = 18 см.

Теперь можем найти площадь основания:

Площадь основания = 18² = 324 см².

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней.

Боковые грани пирамиды - это четыре равнобедренные треугольника. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание треугольника - это сторона квадрата (a), а высота - это апофема (l).

Площадь одного треугольника = (1/2) * 18 * 15 = 135 см².

Так как у нас четыре боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

Площадь боковых граней = 4 * 135 = 540 см².

Шаг 3: Найдем полную площадь поверхности.

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковых граней:

Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковых граней.

Площадь полной поверхности = 324 + 540 = 864 см².

Ответ: Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 864 см².