Какова площадь фигуры, определенной следующими неравенствами:

1. y ≥ 2|x|
2. y ≤ 8

Математика 11 класс Неравенства и площади фигур площадь фигуры неравенства математика 11 класс график функций решение неравенств Новый

Чтобы найти площадь фигуры, определенной неравенствами y ≥ 2|x| и y ≤ 8, начнем с графического представления этих неравенств.

Шаг 1: Построение графика y = 2|x|

• График функции y = 2|x| представляет собой V-образную фигуру, которая открыта вверх.
• Это означает, что для положительных x значение y будет равно 2x, а для отрицательных x -2x.
• График пересекает ось y в точке (0, 0).

Шаг 2: Построение графика y = 8

• График функции y = 8 - это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 8).

Шаг 3: Определение области, заданной неравенствами

• Неравенство y ≥ 2|x| означает, что мы ищем область, находящуюся над графиком y = 2|x|.
• Неравенство y ≤ 8 указывает на область, находящуюся ниже линии y = 8.

Шаг 4: Нахождение точек пересечения

• Чтобы найти границы фигуры, нужно найти точки пересечения графиков y = 2|x| и y = 8.
• Решим уравнение: 2|x| = 8.
• Это дает два решения: |x| = 4, что приводит к x = 4 и x = -4.

Шаг 5: Определение области интегрирования

• Теперь мы знаем, что фигура ограничена сверху линией y = 8 и снизу линией y = 2|x|, в пределах от x = -4 до x = 4.

Шаг 6: Вычисление площади

Площадь фигуры можно найти, используя интеграл:

1. Площадь можно вычислить как интеграл разности верхней и нижней функции:
2. Площадь = ∫ от -4 до 4 (8 - 2|x|) dx.

Шаг 7: Вычисление интеграла

• Разделим интеграл на две части, так как функция |x| меняется на [-4, 0] и [0, 4]:
• Площадь = ∫ от -4 до 0 (8 - 2(-x)) dx + ∫ от 0 до 4 (8 - 2x) dx.
• Первый интеграл: ∫ от -4 до 0 (8 + 2x) dx = [8x + x^2] от -4 до 0 = (0 - (-32)) = 32.
• Второй интеграл: ∫ от 0 до 4 (8 - 2x) dx = [8x - x^2] от 0 до 4 = (32 - 16) = 16.

Шаг 8: Сложение площадей

Теперь сложим обе площади:

• Площадь = 32 + 16 = 48.

Ответ: Площадь фигуры, определенной неравенствами y ≥ 2|x| и y ≤ 8, равна 48 квадратных единиц.