Помогите, пожалуйста - изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

1. x^2 + y^2 ≤ 4(x + y - 1)
2. y ≤ |x - 2| (здесь модуль)

И найдите площадь получившейся фигуры.

Математика 11 класс Неравенства и площади фигур координатная плоскость множество точек условия x^2 + y^2 y ≤ |x - 2| площадь фигуры математика 11 класс график неравенств решение задач геометрия аналитическая геометрия Новый

Для решения задачи начнем с анализа каждого из условий отдельно, а затем найдем область, удовлетворяющую обоим условиям.

1. Анализ первого условия:

Условие x^2 + y^2 ≤ 4(x + y - 1) можно переписать следующим образом:

• Переносим все элементы в одну сторону: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 ≤ 0.
• Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы упростить его, сгруппируем члены:
• (x^2 - 4x) + (y^2 - 4y) + 4 ≤ 0.
• Теперь завершим квадрат для x и y:
• (x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 4 ≤ 0.
• Это упрощается до: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 ≤ 4.

Это неравенство описывает круг с центром в точке (2, 2) и радиусом 2.

2. Анализ второго условия:

Условие y ≤ |x - 2| представляет собой две прямые:

• y ≤ x - 2 (для x ≥ 2)
• y ≤ -x + 2 (для x < 2)

Эти прямые пересекаются в точке (2, 0) и образуют "V"-образную фигуру, направленную вниз.

3. Построение графиков:

Теперь необходимо изобразить оба условия на координатной плоскости:

• Нарисуйте круг с центром (2, 2) и радиусом 2.
• Нарисуйте прямые y = x - 2 и y = -x + 2.

4. Найдем область, удовлетворяющую обоим условиям:

Теперь необходимо определить область, которая удовлетворяет обоим условиям:

• Область внутри круга (x - 2)^2 + (y - 2)^2 ≤ 4.
• Область ниже линий y ≤ x - 2 и y ≤ -x + 2.

5. Площадь получившейся фигуры:

Для нахождения площади области, удовлетворяющей обоим условиям, нужно определить, где эти линии пересекают круг:

• Решим систему уравнений:
• 1) Подставим y = x - 2 в уравнение круга: (x - 2)^2 + (x - 2)^2 ≤ 4.
• 2) Подставим y = -x + 2 в уравнение круга: (x - 2)^2 + (-x + 2 - 2)^2 ≤ 4.

После нахождения точек пересечения, можно использовать формулы для вычисления площади сектора круга и треугольников, образованных прямыми и радиусами.

6. Итог:

После выполнения всех вычислений и построений, вы сможете найти площадь фигуры, которая будет ограниченной этими условиями. Обычно, в таких задачах, площадь можно найти, используя интегралы или геометрические методы.

Если у вас есть конкретные значения для точек пересечения или другие детали, я могу помочь с дальнейшими расчетами!