Чтобы найти площадь основания правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды и некоторые тригонометрические свойства.

Объем V правильной треугольной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h следующим образом:

V = (1/3) * S * h

В нашем случае объем V равен 30 2/3. Преобразуем его в неправильную дробь:

30 2/3 = 92/3.

Таким образом, у нас есть:

92/3 = (1/3) * S * h

Теперь умножим обе стороны уравнения на 3:

92 = S * h

Теперь нам нужно найти высоту h. У нас есть угол между боковым ребром и основанием, который равен arctg(2). Обозначим этот угол как α. Тогда:

tg(α) = 2

По определению тангенса:

tg(α) = h / (l/2)

где l — это длина стороны основания (равностороннего треугольника).

Из этого уравнения можно выразить высоту h:

h = tg(α) * (l/2) = 2 * (l/2) = l

Теперь подставим h в уравнение для объема:

92 = S * l

Теперь найдем площадь основания S. Площадь S правильного треугольника со стороной l вычисляется по формуле:

S = (sqrt(3)/4) * l^2

Подставим это значение в уравнение:

92 = (sqrt(3)/4) * l^2 * l

92 = (sqrt(3)/4) * l^3

Теперь выразим l^3:

l^3 = 92 * (4/sqrt(3))

l^3 = 368/sqrt(3)

Теперь найдем l:

l = (368/sqrt(3))^(1/3)

Теперь, когда мы знаем l, можем подставить его обратно в формулу для площади S:

S = (sqrt(3)/4) * l^2

Подставим значение l и найдем S. Однако, чтобы упростить процесс, мы можем сразу выразить S через объем:

S = 92/h

В итоге, подставляя h = l, получаем:

S = 92/l

Теперь, подставляя l из предыдущего уравнения, получаем площадь основания S:

Таким образом, S = 92/(368/sqrt(3))^(1/3)

В результате мы можем найти площадь основания правильной треугольной пирамиды, используя всю информацию, которую мы получили.