Какова площадь основания правильной треугольной пирамиды, если угол между боковым ребром и основанием равен arctg2, а объем пирамиды составляет 30 2/3?

Математика 11 класс Объем и площадь фигур площадь основания пирамиды правильная треугольная пирамида угол между боковым ребром объём пирамиды математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь основания правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды и некоторые тригонометрические свойства.

Объем V правильной треугольной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h следующим образом:

V = (1/3) * S * h

В нашем случае объем V равен 30 2/3. Преобразуем его в неправильную дробь:

30 2/3 = 92/3.

Таким образом, у нас есть:

92/3 = (1/3) * S * h

Теперь умножим обе стороны уравнения на 3:

92 = S * h

Теперь нам нужно найти высоту h. У нас есть угол между боковым ребром и основанием, который равен arctg(2). Обозначим этот угол как α. Тогда:

tg(α) = 2

По определению тангенса:

tg(α) = h / (l/2)

где l — это длина стороны основания (равностороннего треугольника).

Из этого уравнения можно выразить высоту h:

h = tg(α) * (l/2) = 2 * (l/2) = l

Теперь подставим h в уравнение для объема:

92 = S * l

Теперь найдем площадь основания S. Площадь S правильного треугольника со стороной l вычисляется по формуле:

S = (sqrt(3)/4) * l^2

Подставим это значение в уравнение:

92 = (sqrt(3)/4) * l^2 * l

92 = (sqrt(3)/4) * l^3

Теперь выразим l^3:

l^3 = 92 * (4/sqrt(3))

l^3 = 368/sqrt(3)

Теперь найдем l:

l = (368/sqrt(3))^(1/3)

Теперь, когда мы знаем l, можем подставить его обратно в формулу для площади S:

S = (sqrt(3)/4) * l^2

Подставим значение l и найдем S. Однако, чтобы упростить процесс, мы можем сразу выразить S через объем:

S = 92/h

В итоге, подставляя h = l, получаем:

S = 92/l

Теперь, подставляя l из предыдущего уравнения, получаем площадь основания S:

Таким образом, S = 92/(368/sqrt(3))^(1/3)

В результате мы можем найти площадь основания правильной треугольной пирамиды, используя всю информацию, которую мы получили.