Какова предельная величина выражения lim (n → ∞) (n / (n - 2))^n?

Математика 11 класс Пределы и бесконечности предельная величина лимит математика 11 класс выражение n стремится к бесконечности Новый

Чтобы найти предельную величину выражения lim (n → ∞) (n / (n - 2))^n, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Сначала упростим дробь внутри предела:

• Мы можем переписать дробь n / (n - 2) как n / n * 1 / (1 - 2/n).
• Это упрощается до 1 / (1 - 2/n).

2. Теперь подставим это в предел:

lim (n → ∞) (n / (n - 2))^n = lim (n → ∞) (1 / (1 - 2/n))^n.

3. Когда n стремится к бесконечности, 2/n стремится к 0, и мы можем записать:

1 - 2/n → 1.

4. Теперь рассмотрим выражение (1 / (1 - 2/n))^n. При n → ∞, это выражение становится:

lim (n → ∞) (1 / (1 - 2/n))^n = lim (n → ∞) (1 / (1 - 0))^n = lim (n → ∞) 1^n.

5. Однако, чтобы более точно оценить предел, воспользуемся следующим:

Мы знаем, что (1 + x/n)^n стремится к e^x при n → ∞. В нашем случае, мы можем записать:

• 1 - 2/n = 1 + (-2/n).
• Тогда (1 / (1 - 2/n))^n = (1 + 2/n)^n.

6. Теперь мы можем применить известный предел:

lim (n → ∞) (1 + 2/n)^n = e^2.

7. Таким образом, мы получаем:

lim (n → ∞) (n / (n - 2))^n = e^2.

Итак, предельная величина выражения равна e^2.