При х, стремящемся к бесконечности, как найти предел выражения lim[(2x+5)/(2x+1)]^5x? Помогите, пожалуйста.

Математика 11 класс Пределы и бесконечности предел предел выражения математика 11 класс лимит стремление к бесконечности дробь функции анализ пределов математический анализ Новый

Для нахождения предела выражения lim[(2x+5)/(2x+1)]^5x при x, стремящемся к бесконечности, давайте разберем это шаг за шагом.

1. Упростим дробь внутри предела:

   Сначала рассмотрим дробь (2x + 5)/(2x + 1). При x, стремящемся к бесконечности, мы можем выделить x в числителе и знаменателе:

   (2x + 5)/(2x + 1) = (2 + 5/x)/(2 + 1/x).

   Теперь, когда x стремится к бесконечности, 5/x и 1/x стремятся к нулю, и мы получаем:

   (2 + 0)/(2 + 0) = 1.

2. Теперь подставим это в предел:

   Итак, мы имеем предел вида:

   lim ([(2x + 5)/(2x + 1)]^5x) = lim (1^5x).

3. Обратим внимание на степень:

   Теперь, когда мы знаем, что дробь стремится к 1, нам нужно разобраться с выражением 1^5x. Однако 1 в любой степени равен 1, поэтому мы должны быть осторожны, так как 5x также стремится к бесконечности.

4. Применим логарифмическое преобразование:

   Чтобы лучше понять поведение выражения, давайте возьмем натуральный логарифм:

   ln(y) = 5x * ln((2x + 5)/(2x + 1)).

   Теперь найдем предел ln(y) при x, стремящемся к бесконечности.

5. Найдем предел ln((2x + 5)/(2x + 1)):

   Мы уже знаем, что (2x + 5)/(2x + 1) стремится к 1, следовательно, ln((2x + 5)/(2x + 1)) стремится к ln(1) = 0.

   Таким образом, мы можем записать:

   lim (5x * ln((2x + 5)/(2x + 1))) = 5 * lim (x * ln((2x + 5)/(2x + 1))).

6. Применим правило Лопиталя:

   Чтобы найти этот предел, мы можем использовать правило Лопиталя. Сначала нужно привести его к форме 0/0 или бесконечность/бесконечность.

   Для этого выразим ln((2x + 5)/(2x + 1)) как:

   ln((2x + 5)/(2x + 1)) = ln(2x + 5) - ln(2x + 1).

   Теперь найдем предел:

   lim (x * (ln(2x + 5) - ln(2x + 1))) = lim (ln(2x + 5) - ln(2x + 1)) / (1/x).

   Теперь можем применить правило Лопиталя, дифференцируя числитель и знаменатель.

7. После применения правила Лопиталя:

   Мы получаем:

   lim (1/(2x + 5) * 2 - 1/(2x + 1) * 2) = lim (2/(2x + 5) - 2/(2x + 1)) = 0.

8. Итак, возвращаясь к нашему пределу:

   Мы получили, что 5 * lim (x * ln((2x + 5)/(2x + 1))) = 5 * 0 = 0.

   Следовательно, lim ln(y) = 0, что означает, что y стремится к e^0 = 1.

Таким образом, предел lim[(2x + 5)/(2x + 1)]^5x при x, стремящемся к бесконечности, равен 1.