Какова скорость течения реки, если турист проплыл в лодке из города A в город B и обратно за 10 часов, при этом расстояние между городами составляет 20 км, и известно, что он проплыл 2 км против течения за то же время, что и 3 км по течению?

Математика 11 класс Задачи на движение скорость течения реки задача по математике 11 класс движение по течению движение против течения лодка расстояние между городами время в пути Новый

Для решения этой задачи, давайте обозначим скорость течения реки как v (км/ч), а скорость лодки в стоячей воде как u (км/ч).

Сначала нам нужно рассмотреть время, затраченное на путь против течения и по течению. Мы знаем, что:

• Расстояние против течения: 2 км
• Расстояние по течению: 3 км

Скорость лодки против течения будет равна (u - v), а по течению — (u + v).

Теперь запишем уравнения для времени:

• Время, затраченное на 2 км против течения: t1 = 2 / (u - v)
• Время, затраченное на 3 км по течению: t2 = 3 / (u + v)

Согласно условию задачи, время, затраченное на оба пути, одинаково:

t1 = t2

Подставим наши уравнения:

2 / (u - v) = 3 / (u + v)

Теперь умножим обе стороны на (u - v)(u + v), чтобы избавиться от дробей:

2(u + v) = 3(u - v)

Раскроем скобки:

2u + 2v = 3u - 3v

Теперь соберем все члены с u и v на одной стороне:

2u - 3u = -3v - 2v

-u = -5v

Таким образом, мы получили соотношение между скоростью лодки и скоростью течения:

u = 5v

Теперь, возвращаемся к общему времени в пути. По условию задачи, турист проплыл 20 км в одну сторону и 20 км обратно, то есть общее расстояние составляет 40 км. Время в пути равно 10 часов:

Время в пути = 10 часов

Теперь запишем время, затраченное на путь из города A в город B и обратно:

• Время в пути по течению (20 км): t1 = 20 / (u + v)
• Время в пути против течения (20 км): t2 = 20 / (u - v)

Общее время в пути:

t1 + t2 = 10

Подставим выражения для t1 и t2:

20 / (u + v) + 20 / (u - v) = 10

Умножим обе стороны на (u + v)(u - v):

20(u - v) + 20(u + v) = 10(u^2 - v^2)

Раскроем скобки:

20u - 20v + 20u + 20v = 10(u^2 - v^2)

Соберем подобные:

40u = 10(u^2 - v^2)

Разделим обе стороны на 10:

4u = u^2 - v^2

Подставим u = 5v:

4(5v) = (5v)^2 - v^2

Упростим:

20v = 25v^2 - v^2

20v = 24v^2

Разделим обе стороны на 4v (при условии, что v не равно 0):

5 = 6v

Таким образом, находим скорость течения:

v = 5/6 км/ч

Итак, скорость течения реки составляет 5/6 км/ч.