Какова сумма всех десятизначных чисел, которые Аркадий записал, если они состоят только из цифр 1, 2 и 3, и разница между любыми двумя соседними цифрами равна 1?

Математика 11 класс Комбинаторика и числовые последовательности сумма десятизначных чисел Аркадий цифры 1 2 3 разница соседних цифр математика 11 класс Новый

Для решения этой задачи, давайте сначала поймем, какие десятизначные числа мы можем составить из цифр 1, 2 и 3, с условием, что разница между любыми двумя соседними цифрами равна 1.

Это значит, что возможные пары соседних цифр могут быть следующими:

• 1 может быть соседним только с 2;
• 2 может быть соседним как с 1, так и с 3;
• 3 может быть соседним только с 2.

Теперь давайте определим, как можно строить такие числа. Мы можем использовать динамическое программирование для подсчета количества таких чисел, заканчивающихся на 1, 2 и 3 соответственно.

Обозначим:

• a_n - количество n-значных чисел, заканчивающихся на 1;
• b_n - количество n-значных чисел, заканчивающихся на 2;
• c_n - количество n-значных чисел, заканчивающихся на 3.

Тогда у нас есть следующие рекуррентные соотношения:

• a_n = b_{n-1} (число может заканчиваться на 1 только, если перед ним стоит 2);
• b_n = a_{n-1} + c_{n-1} (число может заканчиваться на 2, если перед ним стоит 1 или 3);
• c_n = b_{n-1} (число может заканчиваться на 3 только, если перед ним стоит 2).

Теперь начнем с базовых случаев:

• a_1 = 1 (число 1);
• b_1 = 1 (число 2);
• c_1 = 1 (число 3).

Теперь можем вычислить значения для n от 2 до 10:

1. n = 2:
• a_2 = b_1 = 1;
• b_2 = a_1 + c_1 = 1 + 1 = 2;
• c_2 = b_1 = 1.
2. n = 3:
• a_3 = b_2 = 2;
• b_3 = a_2 + c_2 = 1 + 1 = 2;
• c_3 = b_2 = 2.
3. n = 4:
• a_4 = b_3 = 2;
• b_4 = a_3 + c_3 = 2 + 2 = 4;
• c_4 = b_3 = 2.
4. n = 5:
• a_5 = b_4 = 4;
• b_5 = a_4 + c_4 = 2 + 2 = 4;
• c_5 = b_4 = 4.
5. n = 6:
• a_6 = b_5 = 4;
• b_6 = a_5 + c_5 = 4 + 4 = 8;
• c_6 = b_5 = 4.
6. n = 7:
• a_7 = b_6 = 8;
• b_7 = a_6 + c_6 = 4 + 4 = 8;
• c_7 = b_6 = 8.
7. n = 8:
• a_8 = b_7 = 8;
• b_8 = a_7 + c_7 = 8 + 8 = 16;
• c_8 = b_7 = 8.
8. n = 9:
• a_9 = b_8 = 16;
• b_9 = a_8 + c_8 = 8 + 8 = 16;
• c_9 = b_8 = 16.
9. n = 10:
• a_{10} = b_9 = 16;
• b_{10} = a_9 + c_9 = 16 + 16 = 32;
• c_{10} = b_9 = 16.

Теперь мы можем подсчитать общее количество десятизначных чисел:

Общее количество = a_{10} + b_{10} + c_{10} = 16 + 32 + 16 = 64.

Теперь давайте найдем сумму всех этих чисел. Мы можем заметить, что каждая цифра 1, 2 и 3 появляется в каждом разряде (от 1 до 10) одинаково, так как числа симметричны. Мы можем использовать это свойство, чтобы упростить задачу.

Каждая из цифр 1, 2 и 3 будет появляться в каждом разряде одинаковое количество раз. Поскольку у нас 64 числа и 10 разрядов, каждая цифра будет появляться:

Количество появлений каждой цифры = Общее количество чисел / Количество разрядов = 64 / 3 = 21.33 (округляем до 21, так как мы не можем иметь дробное количество чисел).

Теперь, чтобы найти сумму всех десятизначных чисел, мы можем использовать формулу:

Сумма = (Сумма цифр в каждом разряде) * (Количество разрядов) * (10^разряд).

Сумма цифр = 1 * 21 + 2 * 21 + 3 * 21 = 21 + 42 + 63 = 126.

Теперь мы можем вычислить сумму для каждого разряда:

1. Сумма для разряда 1 = 126 * 10^0;
2. Сумма для разряда 2 = 126 * 10^1;
3. Сумма для разряда 3 = 126 * 10^2;
4. Сумма для разряда 4 = 126 * 10^3;
5. Сумма для разряда 5 = 126 * 10^4;
6. Сумма для разряда 6 = 126 * 10^5;
7. Сумма для разряда 7 = 126 * 10^6;
8. Сумма для разряда 8 = 126 * 10^7;
9. Сумма для разряда 9 = 126 * 10^8;
10. Сумма для разряда 10 = 126 * 10^9;

Теперь суммируем все эти значения:

Сумма всех десятизначных чисел = 126 * (10^0 + 10^1 + 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 + 10^6 + 10^7 + 10^8 + 10^9).

Сумма геометрической прогрессии = a * (r^n - 1) / (r - 1), где a = 1, r = 10, n = 10:

Сумма = 1 * (10^10 - 1) / (10 - 1) = (10^10 - 1) / 9.

Теперь подставляем это значение в формулу:

Сумма всех десятизначных чисел = 126 * ((10^10 - 1) / 9).

Таким образом, окончательный ответ:

Сумма всех десятизначных чисел, которые Аркадий записал, равна 126 * (10^10 - 1) / 9.