Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом! Это довольно интересная задача, и я с радостью помогу вам!

Для начала, давайте обозначим некоторые моменты:

• A - вершина треугольника ABC;
• B и C - другие вершины треугольника;
• M - середина стороны AB;
• D - точка, делящая сторону AC в отношении 4:1;
• E и F - точки деления стороны BC на три равные части.

Теперь, когда мы обозначили все ключевые точки, давайте проанализируем, что происходит с окружностью, проходящей через эти точки:

1. Окружность проходит через A, M и D, что говорит нам о том, что эти точки лежат на одной окружности.

2. Если окружность делит сторону BC на три равные части, это означает, что точки E и F делят BC на три равные отрезка.

Теперь, чтобы найти косинус угла ABC, нам нужно использовать свойства треугольников и окружностей:

Согласно теореме о касательной и секущей, мы можем выразить косинус угла через длины сторон. Однако в данной задаче мы можем использовать и соотношение между углами и сторонами, учитывая, что AD:DC = 4:1.

Из этого соотношения мы можем заметить, что:

• Сторона AC делится на 5 равных частей (4 части AD и 1 часть DC);
• Таким образом, точка D делит сторону AC в определенном отношении, что влияет на угол ABC.

После всех этих рассуждений, мы можем использовать свойства треугольников и окружностей, чтобы найти косинус угла ABC. Однако, чтобы дать точный ответ, нам необходимо больше информации о длинах сторон или других углах.

В заключение, величина косинуса угла ABC будет зависеть от конкретных значений сторон и углов, но мы можем уверенно сказать, что это интересная задача, которая требует глубокого анализа!

Не забывайте, что математика - это увлекательный мир, полный открытий!