Каковы координаты точки М, которая находится на гиперболе, заданной уравнением у = 60 : х, и удалена от начала координат на 13 единиц?

Математика 11 класс Гиперболы координаты точки М гипербола уравнение у = 60 : х удаление от начала координат 13 единиц Новый

Для решения задачи нам нужно найти координаты точки М, которая находится на гиперболе, заданной уравнением y = 60 / x, и при этом удалена от начала координат на 13 единиц.

Сначала мы запишем условие о расстоянии от точки М до начала координат. Если точка М имеет координаты (x, y), то расстояние от этой точки до начала координат (0, 0) можно выразить через формулу расстояния:

r = √(x² + y²)

В нашем случае это расстояние равно 13 единицам, следовательно:

√(x² + y²) = 13

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

x² + y² = 13²

Таким образом, мы получаем:

x² + y² = 169

Теперь подставим выражение для y из уравнения гиперболы в это уравнение. Из уравнения гиперболы мы знаем, что:

y = 60 / x

Подставим это значение в уравнение окружности:

x² + (60 / x)² = 169

Теперь упростим это уравнение:

1. Раскроем скобки:

x² + 3600 / x² = 169

2. Умножим все уравнение на x², чтобы избавиться от дроби:

x⁴ - 169x² + 3600 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x². Обозначим z = x², и тогда уравнение примет вид:

z² - 169z + 3600 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-169)² - 4*1*3600

D = 28561 - 14400 = 14161

Теперь находим корни уравнения:

z = (169 ± √14161) / 2

√14161 = 119

Следовательно:

z1 = (169 + 119) / 2 = 144

z2 = (169 - 119) / 2 = 25

Теперь вернемся к переменной x:

x² = 144 => x = ±12

x² = 25 => x = ±5

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x:

• Если x = 12, то y = 60 / 12 = 5. Точка: (12, 5).
• Если x = -12, то y = 60 / -12 = -5. Точка: (-12, -5).
• Если x = 5, то y = 60 / 5 = 12. Точка: (5, 12).
• Если x = -5, то y = 60 / -5 = -12. Точка: (-5, -12).

Таким образом, мы получили 4 точки, которые находятся на гиперболе и удалены от начала координат на 13 единиц:

• (12, 5)
• (-12, -5)
• (5, 12)
• (-5, -12)

Эти координаты и являются ответом на задачу.