Каковы наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ + 3x² + 2 на отрезке [-2; 1]?

Математика 11 класс Экстремумы функции на отрезке Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция y = 2x³ + 3x² + 2 отрезок [-2; 1] математика 11 класс Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ + 3x² + 2 на отрезке [-2; 1], нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Для этого используем правила дифференцирования:

• Производная от x^n равна n*x^(n-1).
• Производная от суммы равна сумме производных.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 6x² + 6x.

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Уравняем производную к нулю:

6x² + 6x = 0.

Выносим общий множитель:

6x(x + 1) = 0.

Это уравнение равняется нулю, когда:

• x = 0,
• x + 1 = 0, то есть x = -1.
3. Определим значения функции в критических точках и на границах отрезка.

Теперь нам нужно вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка [-2; 1]:

• y(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² + 2 = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2,
• y(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + 2 = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3,
• y(0) = 2(0)³ + 3(0)² + 2 = 0 + 0 + 2 = 2,
• y(1) = 2(1)³ + 3(1)² + 2 = 2(1) + 3(1) + 2 = 2 + 3 + 2 = 7.
4. Сравним найденные значения.

Теперь у нас есть значения функции:

• y(-2) = -2,
• y(-1) = 3,
• y(0) = 2,
• y(1) = 7.

Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно 7, а наименьшее значение равно -2.

Ответ: Наибольшее значение: 7, наименьшее значение: -2.