Каковы решения для следующих задач по математике?

1. Задание 5: Решите уравнение и найдите корень уравнения log4 (5 - x) = 2.
2. Задание 6: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 60°, AB = 8. Как найти AC?
3. Задание 7: Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции y = x² - 3x + 5. Как найти абсциссу точки касания?
4. Задание 8: Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Как найти объем шара?

Математика 11 класс Алгебра и геометрия математика 11 класс уравнение логарифм треугольник угол касательная график объем шара конус Новый

Задание 5: Решите уравнение log4(5 - x) = 2.

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться определением логарифма. Уравнение log4(5 - x) = 2 означает, что 5 - x = 4^2 (потому что логарифм по основанию 4 равен 2). Теперь найдем 4^2:

• 4^2 = 16.

Теперь подставим это в уравнение:

• 5 - x = 16.

Теперь решим это уравнение для x:

• -x = 16 - 5.
• -x = 11.
• x = -11.

Таким образом, корень уравнения равен x = -11.

Задание 6: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 60°, AB = 8. Как найти AC?

В данном случае мы можем использовать тригонометрические функции. В треугольнике ABC с углом C = 90° и углом A = 60°, угол B будет равен 30° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°). Мы знаем, что:

• Сторона, противоположная углу A (сторона BC) будет равна AB * sin(30°).
• Сторона, прилежащая к углу A (сторона AC) будет равна AB * cos(30°).

Теперь подставим значение AB = 8:

• AC = 8 * cos(60°) = 8 * 0.5 = 4.

Таким образом, AC = 4.

Задание 7: Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции y = x² - 3x + 5. Как найти абсциссу точки касания?

Чтобы найти абсциссу точки касания, сначала найдем производную функции y = x² - 3x + 5, так как производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.

• y' = 2x - 3.

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен 6 (из уравнения прямой). Установим равенство:

• 2x - 3 = 6.

Решим это уравнение:

• 2x = 6 + 3.
• 2x = 9.
• x = 4.5.

Таким образом, абсцисса точки касания равна x = 4.5.

Задание 8: Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Как найти объем шара?

Давайте обозначим радиус шара как R, тогда радиус основания конуса также будет равен R. Объем конуса можно выразить через его радиус и высоту:

• V_конуса = (1/3) * π * R² * h.

Мы знаем, что объем конуса равен 2:

• (1/3) * π * R² * h = 2.

Теперь, чтобы найти объем шара, используем формулу:

• V_шара = (4/3) * π * R³.

Мы не знаем h, но мы знаем, что h = R (в случае, когда конус вписан в шар и радиус основания равен радиусу шара). Подставим h в уравнение:

• (1/3) * π * R² * R = 2.
• (1/3) * π * R³ = 2.

Теперь умножим обе стороны на 3:

• π * R³ = 6.

Теперь найдем R³:

• R³ = 6/π.

Теперь подставим R³ в формулу объема шара:

• V_шара = (4/3) * π * (6/π) = 8.

Таким образом, объем шара равен 8.