Каковы уравнения касательной и нормали к графику функции y=sin x в точке, где абсцисса x равна π/4?

Математика 11 класс Уравнения касательной и нормали к графику функции уравнения касательной уравнение нормали график функции y=sin x абсцисса π/4 математика 11 класс Новый

Для нахождения уравнений касательной и нормали к графику функции y = sin x в точке, где абсцисса x равна π/4, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти координаты точки касания.
   • Подставим x = π/4 в функцию y = sin x:
   • y = sin(π/4) = √2/2.
   • Таким образом, точка касания имеет координаты (π/4, √2/2).
2. Найти производную функции.
   • Производная функции y = sin x равна y' = cos x.
   • Теперь подставим x = π/4 в производную:
   • y'(π/4) = cos(π/4) = √2/2.
   • Это значение производной в точке x = π/4 будет угловым коэффициентом касательной.
3. Записать уравнение касательной.
   • Уравнение касательной можно записать в виде:
   • y - y0 = k(x - x0),
   • где (x0, y0) - это точка касания, а k - угловой коэффициент.
   • Подставим известные значения:
   • y - √2/2 = (√2/2)(x - π/4).
   • Упрощая, получаем: y = (√2/2)x - (√2/2)(π/4) + √2/2.
4. Записать уравнение нормали.
   • Угловой коэффициент нормали является отрицательной величиной, обратной угловому коэффициенту касательной:
   • k_normal = -1/(√2/2) = -√2.
   • Теперь запишем уравнение нормали:
   • y - √2/2 = -√2(x - π/4).
   • Упрощая, получаем: y = -√2x + (√2)(π/4) + √2/2.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = sin x в точке (π/4, √2/2) будет:

y = (√2/2)x - (√2/2)(π/4) + √2/2.

А уравнение нормали будет:

y = -√2x + (√2)(π/4) + √2/2.