Каковы все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4x^2+x+1)^2-2x(4x^2+x+1)+ax^2=0 имеет ровно два решения на промежутке [1/4;1]?

Математика 11 класс Параметрические уравнения значения параметра a уравнение с двумя решениями промежуток [1/4;1] математические задачи решение уравнений Новый

Для того чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение (4x^2+x+1)^2-2x(4x^2+x+1)+ax^2=0 имеет ровно два решения на промежутке [1/4;1], начнем с анализа данного уравнения.

Обозначим:

• y = 4x^2 + x + 1.

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

(y^2 - 2xy + ax^2 = 0).

Это квадратное уравнение относительно y. Для того чтобы оно имело решения, дискриминант D должен быть неотрицательным:

• D = (2x)^2 - 4(1)(ax^2) = 4x^2 - 4ax^2 = 4x^2(1 - a).

Таким образом, чтобы D ≥ 0, необходимо, чтобы:

• 1 - a ≥ 0,
• или a ≤ 1.

Теперь, чтобы уравнение имело ровно два решения, нам необходимо, чтобы D = 0, что означает:

• 4x^2(1 - a) = 0.

Это уравнение выполняется при x = 0 или при 1 - a = 0, что дает a = 1. Однако, x = 0 не входит в наш промежуток [1/4; 1]. Поэтому, чтобы уравнение имело ровно два решения на заданном промежутке, необходимо, чтобы a = 1.

Теперь проверим, что при a = 1 у нас действительно будет два решения:

Подставим a = 1 в уравнение:

(4x^2 + x + 1)^2 - 2x(4x^2 + x + 1) + x^2 = 0.

Теперь мы можем проверить, что это уравнение имеет два решения на промежутке [1/4; 1].

Таким образом, единственным значением параметра a, при котором уравнение имеет ровно два решения на промежутке [1/4; 1], является:

• a = 1.