Каковы высота, длина боковой стороны, средняя линия и площадь равнобедренной трапеции, если длины её оснований равны 42 см и 72 см, а острый угол составляет 30°?

Математика 11 класс Равнобедренные трапеции высота равнобедренной трапеции длина боковой стороны средняя линия трапеции площадь равнобедренной трапеции основание трапеции острый угол трапеции Новый

Для решения задачи о равнобедренной трапеции, давайте обозначим:

• a - длина меньшего основания (42 см);
• b - длина большего основания (72 см);
• h - высота трапеции;
• c - длина боковой стороны (равных сторон);
• m - длина средней линии;
• S - площадь трапеции.

Сначала найдем длину средней линии:

Шаг 1: Найдем среднюю линию.

Средняя линия трапеции определяется как:

m = (a + b) / 2

Подставим наши значения:

m = (42 + 72) / 2 = 114 / 2 = 57 см.

Шаг 2: Найдем высоту.

Для нахождения высоты воспользуемся острым углом 30°. Мы можем представить равнобедренную трапецию как две прямоугольные треугольники, образованные высотой и боковой стороной.

Обозначим половину разности оснований:

д = (b - a) / 2 = (72 - 42) / 2 = 30 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• д - прилежащая сторона (30 см);
• h - противолежащая сторона (высота);
• угол = 30°.

Используя тригонометрические функции, мы можем найти высоту:

tg(30°) = h / д

Поскольку tg(30°) = 1 / √3, мы можем записать:

h = д * tg(30°) = 30 * (1 / √3) = 30 / √3 = 10√3 см.

Шаг 3: Найдем длину боковой стороны.

Теперь, чтобы найти длину боковой стороны c, мы используем теорему Пифагора:

c = √(д² + h²)

Подставляем значения:

c = √(30² + (10√3)²) = √(900 + 300) = √1200 = 20√3 см.

Шаг 4: Найдем площадь трапеции.

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

Подставляем значения:

S = (42 + 72) * (10√3) / 2 = 114 * (10√3) / 2 = 570√3 см².

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• Высота h = 10√3 см;
• Длина боковой стороны c = 20√3 см;
• Средняя линия m = 57 см;
• Площадь S = 570√3 см².