Задания по математике, связанные с уравнениями сфер и их свойствами, могут охватывать различные аспекты, включая определение уравнения сферы, вычисление радиуса и центра, а также анализ геометрических свойств. Рассмотрим основные типы заданий, которые могут встретиться в рамках данной темы.

Уравнение сферы в трехмерном пространстве задается следующим образом:

(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = r²

где (x0, y0, z0) — координаты центра сферы, а r — радиус сферы.

• Напишите уравнение сферы с центром в точке (2, -3, 5) и радиусом 4.

Данное задание включает в себя преобразование уравнения сферы в стандартный вид для определения центра и радиуса.

• Найдите центр и радиус сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 6x + 4y - 8z + 9 = 0.

Это задание требует проверки, принадлежит ли заданная точка сфере.

• Определите, принадлежит ли точка (1, 2, 3) сфере с уравнением (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9.

Задания могут также включать анализ пересечения двух сфер и нахождение общего объема.

• Найдите, пересекаются ли сферы с уравнениями (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 4 и (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 9.

Задания могут требовать вычисления объема и площади поверхности сферы.

• Вычислите объем и площадь поверхности сферы с радиусом 5.

Каждое из этих заданий требует применения знаний о геометрии и алгебре, а также умения работать с уравнениями и преобразованиями. Решение таких задач помогает учащимся лучше понять свойства сфер и их применение в различных областях математики.