Какой объем образованного тела вращения и какая площадь его поверхности, если полукруг с диаметром 5 см вращается вокруг своего диаметра? Каково соотношение объема к площади поверхности?

Математика 11 класс Объём и площадь поверхности тел вращения Объём тела вращения площадь поверхности полукруг диаметр 5 см соотношение объема и площади

Для решения данной задачи начнем с определения объема и площади поверхности тела вращения, образованного полукругом, который вращается вокруг своего диаметра.

1. **Определение радиуса полукруга**: Поскольку диаметр полукруга равен 5 см, радиус будет равен:

r = d / 2 = 5 см / 2 = 2.5 см

2. **Объем тела вращения**: При вращении полукруга вокруг своего диаметра образуется сфера. Объем сферы вычисляется по формуле:

V = (4/3) π r³

Подставим значение радиуса:

V = (4/3) π (2.5)³

Сначала вычислим (2.5)³:

(2.5)³ = 15.625

Теперь подставим это значение в формулу для объема:

V = (4/3) π 15.625 ≈ 65.45 см³ (используя π ≈ 3.14)

3. **Площадь поверхности тела вращения**: Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

S = 4 π r²

Подставим значение радиуса:

S = 4 π (2.5)²

Сначала вычислим (2.5)²:

(2.5)² = 6.25

Теперь подставим это значение в формулу для площади поверхности:

S = 4 π 6.25 ≈ 78.54 см² (используя π ≈ 3.14)

4. **Соотношение объема к площади поверхности**: Теперь найдем соотношение объема к площади поверхности:

Соотношение = V / S

Подставим найденные значения:

Соотношение = 65.45 см³ / 78.54 см² ≈ 0.83 см

Таким образом, мы нашли:

• Объем образованного тела вращения:
• Площадь поверхности:
• Соотношение объема к площади поверхности:

Для решения данной задачи необходимо определить объем и площадь поверхности тела вращения, образованного вращением полукруга вокруг своего диаметра. Полукруг с диаметром 5 см имеет радиус, равный 2,5 см.

1. Объем образованного тела вращения:

При вращении полукруга вокруг своего диаметра образуется полусфера. Объем полусферы можно вычислить по формуле:

V = (2/3) * π * r^3

где V - объем полусферы, r - радиус полусферы.

• Радиус r = 2,5 см.
• Подставим значение радиуса в формулу:
• V = (2/3) * π * (2,5)^3 = (2/3) * π * 15,625 = (2/3) * 15,625π.
• V ≈ 32,9 см³ (приблизительно, с учетом π ≈ 3,14).

2. Площадь поверхности образованного тела вращения:

Площадь поверхности полусферы можно вычислить по формуле:

S = 2 * π * r^2 + π * r^2

где S - площадь поверхности полусферы, r - радиус полусферы.

• Площадь боковой поверхности Sбок = 2 * π * r^2.
• Площадь основания Sосн = π * r^2.
• Общая площадь поверхности S = Sбок + Sосн = 2 * π * r^2 + π * r^2 = 3 * π * r^2.
• Подставим значение радиуса:
• S = 3 * π * (2,5)^2 = 3 * π * 6,25 = 18,75π.
• S ≈ 58,8 см² (приблизительно, с учетом π ≈ 3,14).

3. Соотношение объема к площади поверхности:

Теперь найдем соотношение объема к площади поверхности:

Соотношение = V / S.

• Соотношение ≈ 32,9 см³ / 58,8 см².
• Соотношение ≈ 0,56 см (приблизительно).

Вывод: Объем образованного тела вращения составляет примерно 32,9 см³, площадь его поверхности - примерно 58,8 см². Соотношение объема к площади поверхности равно приблизительно 0,56 см.