Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберёмся, как это сделать, используя данные, которые у нас есть: апофема (3 см) и угол при основании (60 градусов).

Шаг 1: Найдём сторону основания.

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Угол при основании равен 60 градусов, что означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны квадрата.

• Апофема (h) - это длина от центра основания до вершины пирамиды, и она образует прямоугольный треугольник с высотой и половиной стороны основания.
• Пусть a - сторона квадрата. Тогда половина стороны основания будет равна a/2.
• Используя тангенс угла, мы можем записать: tan(60°) = h / (a/2). Мы знаем, что tan(60°) = √3.
• Подставляем значения: √3 = 3 / (a/2).
• Решим это уравнение: √3 * (a/2) = 3, a/2 = 3/√3, a = 6/√3.

Шаг 2: Найдём площадь основания.

Теперь, когда мы знаем сторону основания, можем найти площадь основания квадрата:

• Площадь основания S = a² = (6/√3)² = 36/3 = 12 см².

Шаг 3: Найдём высоту пирамиды.

Теперь нам нужна высота пирамиды. Мы можем использовать тот же прямоугольный треугольник, чтобы найти высоту:

• Мы знаем, что h = 3 см (апофема).
• Используем теорему Пифагора: h² + (a/2)² = ap², где ap - апофема.
• Подставляем: 3² + (3/√3)² = 3².
• Решаем: 9 + 3 = 9, h² = 9 - 3 = 6, h = √6 см.

Шаг 4: Найдём объём пирамиды.

Теперь мы можем найти объём V правильной четырёхугольной пирамиды по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

• Подставляем значения: V = (1/3) * 12 * √6.
• Таким образом, V = 4√6 см³.

Итак, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 4√6 см³. Если вам нужно более точное значение, вы можете вычислить √6, что приблизительно равно 2.45, и тогда объём будет примерно 9.8 см³.