Какой объем прямой призмы, основанием которой является ромб с периметром 52 сантиметра и углом 120 градусов, если большее из диагональных сечений представляет собой квадрат?

Математика 11 класс Объем прямой призмы объем прямой призмы ромб периметр 52 см угол 120 градусов диагональные сечения квадрат Новый

Чтобы найти объем прямой призмы, основанием которой является ромб, нам нужно сначала определить площадь основания (ромба), а затем умножить её на высоту призмы.

Давайте начнем с нахождения сторон ромба. Мы знаем, что периметр ромба равен 52 сантиметрам. Периметр ромба можно выразить через его сторону:

Периметр = 4 * сторона

Отсюда можем найти длину стороны:

1. Сторона = Периметр / 4 = 52 см / 4 = 13 см.

Теперь мы можем использовать угол ромба, чтобы найти его диагонали. Угол ромба равен 120 градусам. В ромбе диагонали пересекаются под углом, равным углу между сторонами. Мы можем использовать формулы для расчета диагоналей ромба:

Длина диагонали d1 = 2 сторона sin(угол / 2)

Длина диагонали d2 = 2 сторона cos(угол / 2)

Подставим значение стороны и угла:

1. Для d1 (большая диагональ):
• d1 = 2 * 13 * sin(120° / 2) = 2 * 13 * sin(60°) = 2 * 13 * (√3 / 2) = 13√3 см.
2. Для d2 (меньшая диагональ):
• d2 = 2 * 13 * cos(120° / 2) = 2 * 13 * cos(60°) = 2 * 13 * (1/2) = 13 см.

Теперь у нас есть длины диагоналей ромба: d1 = 13√3 см и d2 = 13 см. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

Площадь = (d1 * d2) / 2

Подставим значения:

1. Площадь = (13√3 * 13) / 2 = (169√3) / 2 см².

Теперь, чтобы найти объем призмы, нам нужно знать её высоту. В условии сказано, что большее из диагональных сечений представляет собой квадрат. Это означает, что высота призмы равна длине меньшей диагонали (d2), так как квадрат имеет равные стороны и сторона равна высоте призмы:

Высота = d2 = 13 см.

Теперь можем найти объем призмы:

Объем = Площадь основания * Высота

Подставим значения:

1. Объем = (169√3 / 2) * 13 = (169 * 13√3) / 2 = 2197√3 / 2 см³.

Таким образом, объем прямой призмы составляет 2197√3 / 2 см³.