Какой угол образуют векторы AB и CD, если заданы точки A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2) и D (2; -3; 1)?

Математика 11 класс Векторы и угол между ними угол векторов векторы AB и CD точки A B C D математика 11 класс геометрия векторов Новый

Чтобы найти угол между векторами AB и CD, нам нужно сначала определить сами векторы. Для этого мы воспользуемся координатами точек.

Шаг 1: Найдем вектор AB.

• Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
• AB = B - A = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1).

Шаг 2: Найдем вектор CD.

• Вектор CD также находим, вычитая координаты точки C из координат точки D:
• CD = D - C = (2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2) = (0; -1; -1).

Шаг 3: Найдем угол между векторами AB и CD.

Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|),

где AB * CD - скалярное произведение векторов, а |AB| и |CD| - их длины.

Шаг 4: Найдем скалярное произведение векторов AB и CD.

• Скалярное произведение AB * CD = (-1) * 0 + 0 * (-1) + (-1) * (-1) = 0 + 0 + 1 = 1.

Шаг 5: Найдем длины векторов AB и CD.

• Длина вектора AB = |AB| = √((-1)² + 0² + (-1)²) = √(1 + 0 + 1) = √2.
• Длина вектора CD = |CD| = √(0² + (-1)² + (-1)²) = √(0 + 1 + 1) = √2.

Шаг 6: Подставляем значения в формулу для косинуса угла.

cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2.

Шаг 7: Найдем угол θ.

Теперь нам нужно найти угол, используя арккосинус:

θ = arccos(1/2).

Известно, что арккосинус 1/2 равен 60 градусов или π/3 радиан.

Ответ: Угол между векторами AB и CD равен 60 градусов.