На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Площадь меньшего из них составляет 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Какова площадь фигуры, образованной при пересечении этих двух шестиугольников?

Математика 11 класс Площадь фигур площадь шестиугольников правильный шестиугольник диагонали шестиугольников пересечение фигур задачи по математике 11 класс

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть свойства правильных шестиугольников и их диагоналей, а также соотношение площадей.

Сначала определим основные параметры меньшего шестиугольника, площадь которого равна 54. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину его стороны (a) по формуле:

Площадь = (3√3 / 2) * a²

Таким образом, мы можем выразить длину стороны меньшего шестиугольника:

1. 54 = (3√3 / 2) * a²
2. a² = 54 * (2 / (3√3))
3. a² = 36 / √3
4. a = √(36 / √3) = 6 / √(√3) = 6√3 / 3 = 2√3

Теперь определим наибольшую диагональ меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна двум сторонам:

Наибольшая диагональ = 2 * a

Подставим найденное значение стороны:

Наибольшая диагональ меньшего шестиугольника = 2 * (2√3) = 4√3

Теперь перейдем к большему шестиугольнику. Условие задачи гласит, что наименьшая диагональ большего шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна длине стороны:

Наименьшая диагональ большего шестиугольника = b

Таким образом, мы имеем:

b = 4√3

Теперь можем найти площадь большего шестиугольника, используя ту же формулу для площади:

Площадь = (3√3 / 2) * b²

Подставим значение b:

1. Площадь = (3√3 / 2) * (4√3)²
2. Площадь = (3√3 / 2) * 48
3. Площадь = 72√3

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, образованной при пересечении двух шестиугольников, необходимо учитывать, что меньший шестиугольник полностью помещается внутри большего, так как его площадь меньше.

Следовательно, площадь фигуры, образованной при пересечении этих двух шестиугольников, равна площади меньшего шестиугольника:

Ответ: Площадь фигуры, образованной при пересечении, составляет 54.

Для решения этой задачи начнем с того, что мы знаем о правильных шестиугольниках и их диагоналях.

Шаг 1: Найдем сторону меньшего шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (3√3 / 2) * a^2,

где a - длина стороны шестиугольника.

У нас есть площадь меньшего шестиугольника, равная 54. Подставим это значение в формулу:

54 = (3√3 / 2) * a^2.

Теперь выразим a^2:

• a^2 = 54 * (2 / (3√3))
• a^2 = 36 / √3
• a = √(36 / √3) = 6 / (√3) = 2√3.

Шаг 2: Найдем наименьшую диагональ большего шестиугольника.

Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна длине стороны, умноженной на √3:

d = a * √3.

Таким образом, наименьшая диагональ большего шестиугольника равна 2√3 * √3 = 6.

Шаг 3: Найдем сторону большего шестиугольника.

Так как наименьшая диагональ большего шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника, нам нужно найти наибольшую диагональ меньшего шестиугольника. Она равна 2 * a:

Наибольшая диагональ меньшего шестиугольника = 2 * (2√3) = 4√3.

Теперь мы знаем, что наименьшая диагональ большего шестиугольника равна 4√3, и можем выразить его сторону:

• 6 = a * √3,
• a = 6 / √3 = 2√3.

Шаг 4: Найдем площадь большего шестиугольника.

Теперь, когда мы нашли длину стороны большего шестиугольника, можем найти его площадь:

Площадь = (3√3 / 2) * a^2,

где a = 2√3:

• Площадь = (3√3 / 2) * (2√3)^2 = (3√3 / 2) * 12 = 18√3.

Шаг 5: Найдем площадь пересечения шестиугольников.

Поскольку меньший шестиугольник полностью помещается внутрь большего, площадь пересечения будет равна площади меньшего шестиугольника.

Таким образом, площадь фигуры, образованной при пересечении этих двух шестиугольников, равна 54.

Ответ: Площадь фигуры, образованной при пересечении двух шестиугольников, равна 54.