Некоторый гонщик проехал расстояние в 400 км за время t, двигаясь со скоростью v км/ч. Если бы он увеличил свою скорость на 20 км/ч, он бы добрался до финиша на час быстрее. Какова скорость гонщика и сколько времени он провел в пути?

Математика 11 класс Задачи на движение скорость гонщика время в пути задача на движение математическая задача увеличение скорости расстояние и время решение уравнения Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы скорости, времени и расстояния. Напомним, что скорость равна расстоянию, деленному на время:

v = S / t

Где:

• v - скорость (км/ч),
• S - расстояние (км),
• t - время (часы).

В нашем случае гонщик проехал расстояние S = 400 км со скоростью v км/ч. Время, которое он потратил на путь, можно выразить как:

t = S / v = 400 / v

Если бы гонщик увеличил свою скорость на 20 км/ч, его новая скорость составила бы (v + 20) км/ч. Время, которое он потратил бы на путь с этой новой скоростью, можно выразить так:

t' = S / (v + 20) = 400 / (v + 20)

По условию задачи, с увеличенной скоростью гонщик добрался бы до финиша на час быстрее. Это можно записать в виде уравнения:

t - t' = 1

Теперь подставим выражения для t и t' в это уравнение:

400 / v - 400 / (v + 20) = 1

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на v(v + 20) для избавления от дробей:

400(v + 20) - 400v = v(v + 20)

Раскроем скобки:

400v + 8000 - 400v = v^2 + 20v

Сократим 400v:

8000 = v^2 + 20v

Переносим все в одну сторону уравнения:

v^2 + 20v - 8000 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Где a = 1, b = 20, c = -8000. Подставим значения:

D = 20^2 - 4 * 1 * (-8000) = 400 + 32000 = 32400

Теперь находим корни уравнения:

v = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

v = (-20 ± √32400) / 2

Корень из 32400 равен 180, подставим это значение:

v = (-20 ± 180) / 2

Теперь найдем два возможных значения для v:

1. v1 = (180 - 20) / 2 = 160 / 2 = 80
2. v2 = (-200) / 2 = -100 (это значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Таким образом, скорость гонщика равна 80 км/ч.

Теперь найдем время, которое гонщик провел в пути:

t = 400 / v = 400 / 80 = 5 часов.

Ответ: Скорость гонщика составляет 80 км/ч, а время в пути - 5 часов.