Плоскость, проходящая через две образующие конуса, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Какова площадь сечения, если образующая конуса равна 13, а радиус основания - 10?

Математика 11 класс Геометрия конуса плоскость конус сечение площадь дуга радиус математика геометрия задача образование Новый

Для решения задачи начнем с анализа информации, которую мы имеем:

• Образующая конуса (l) равна 13.
• Радиус основания конуса (r) равен 10.
• Плоскость отсекает от окружности основания дугу в 60°.

Теперь мы можем начать с нахождения площади сечения, которое представляет собой сектор круга, образованный дугой в 60°. Площадь сечения можно найти, используя следующие шаги:

1. Найдём площадь полного круга:

Площадь полного круга вычисляется по формуле:

Площадь круга = π * r²

Подставляем радиус:

Площадь круга = π * 10² = 100π.

2. Найдём площадь сектора:

Площадь сектора круга, соответствующего углу в 60°, можно найти по формуле:

Площадь сектора = (угол / 360°) * площадь полного круга.

Подставляем угол и площадь круга:

Площадь сектора = (60° / 360°) * 100π = (1/6) * 100π = 100/6 * π = 50/3 * π.

3. Проверим, что сечение действительно образует сектор:

Так как сечение проходит через две образующие конуса, оно будет представлять собой треугольник, основание которого будет равно длине дуги, а высота — расстоянию от основания до вершины конуса.

4. Найдём высоту конуса:

Высота конуса (h) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

h = √(l² - r²) = √(13² - 10²) = √(169 - 100) = √69.

5. Считаем площадь треугольника, который образует сечение:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.

Основание треугольника = длина дуги, которую мы нашли ранее, а высота = h.

Однако, для простоты, мы можем использовать площадь сектора, так как сечение представляет собой именно его.

Таким образом, площадь сечения, отсекаемого плоскостью, равна:

Площадь сечения = 50/3 * π.

В итоге, мы нашли площадь сечения, равную 50/3 * π, что является окончательным ответом на задачу.