Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:

Имеется функция F(x) = x/5 - 4/x. Как найти первообразную функции f(x) = 1/5 + 4/x^2 на промежутке (0; бесконечность)?

Математика 11 класс Интегрирование и первообразные функции первообразная функции задача по математике интегралы пределы функция f(x) промежуток (0; бесконечность) нахождение первообразной Новый

Для того чтобы найти первообразную функции f(x) = 1/5 + 4/x^2, нам нужно выполнить интегрирование этой функции на заданном промежутке (0; бесконечность).

Давайте разберем шаги решения:

1. Запишем функцию для интегрирования:

   Мы имеем f(x) = 1/5 + 4/x^2. Теперь мы будем интегрировать эту функцию по переменной x.

2. Разделим интеграл на две части:

   Интеграл от суммы равен сумме интегралов, поэтому:

       ∫ f(x) dx = ∫ (1/5) dx + ∫ (4/x^2) dx

3. Решим первый интеграл:

       ∫ (1/5) dx = (1/5)x + C₁, где C₁ - произвольная константа интегрирования.

4. Решим второй интеграл:

       ∫ (4/x^2) dx = 4 * ∫ (x^(-2)) dx = 4 * (-x^(-1)) = -4/x + C₂, где C₂ - другая произвольная константа интегрирования.

5. Соберем все вместе:

   Теперь мы можем объединить результаты:

       ∫ f(x) dx = (1/5)x - 4/x + C, где C = C₁ + C₂ - произвольная константа.

6. Запишем ответ:

   Таким образом, первообразная функции f(x) = 1/5 + 4/x^2 будет:

       F(x) = (1/5)x - 4/x + C.

Теперь вы можете использовать эту первообразную для нахождения определенных интегралов на промежутке (0; бесконечность), если это потребуется.