Помогите решить уравнение 49^(X+1) - 200 * 14^X + 4^(X+2) = 0.

Математика 11 класс Уравнения с показателями уравнение решение уравнения математика 11 класс 49^(X+1) 200 * 14^X 4^(X+2) алгебра экспоненциальные уравнения математические задачи Новый

Решим уравнение 49^(X+1) - 200 * 14^X + 4^(X+2) = 0 шаг за шагом.

Сначала попробуем упростить уравнение, используя свойства степеней. Заметим, что:

• 49 = 7^2, следовательно, 49^(X+1) = (7^2)^(X+1) = 7^(2(X+1)) = 7^(2X + 2).
• 14 = 7 * 2, тогда 14^X = (7 * 2)^X = 7^X * 2^X.
• 4 = 2^2, следовательно, 4^(X+2) = (2^2)^(X+2) = 2^(2(X+2)) = 2^(2X + 4).

Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

7^(2X + 2) - 200 * (7^X * 2^X) + 2^(2X + 4) = 0.

Упростим 2^(2X + 4): это можно записать как 4 * 2^(2X).

Теперь у нас есть:

7^(2X + 2) - 200 * (7^X * 2^X) + 4 * 2^(2X) = 0.

Попробуем сделать замену переменных. Обозначим:

• y = 7^X,
• z = 2^X.

Тогда у нас получится:

y^2 - 200 * y * z + 4 * z^2 = 0.

Это квадратное уравнение относительно y. Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

y = (200 * z ± √((200 * z)^2 - 4 * 4 * z^2)) / 2.

Упростим дискриминант:

(200 * z)^2 - 16 * z^2 = 40000 * z^2 - 16 * z^2 = 39984 * z^2.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (200 * z ± √(39984 * z^2)) / 2 = (200 * z ± 199.96 * z) / 2.

Таким образом, у нас есть два случая:

• y1 = (200 + 199.96) * z / 2 = 199.98 * z,
• y2 = (200 - 199.96) * z / 2 = 0.02 * z.

Теперь вернемся к первоначальным переменным:

• В первом случае: 7^X = 199.98 * 2^X.
• Во втором случае: 7^X = 0.02 * 2^X.

Решим каждое из уравнений:

1. 7^X / 2^X = 199.98.
2. (7/2)^X = 199.98.
3. X = log(199.98) / log(7/2).

1. 7^X / 2^X = 0.02.
2. (7/2)^X = 0.02.
3. X = log(0.02) / log(7/2).

Таким образом, мы нашли два значения X:

• X1 = log(199.98) / log(7/2),
• X2 = log(0.02) / log(7/2).

Теперь можно подставить значения в калькулятор, чтобы найти численные решения.