Помогите решить задание по высшей математике: как найти значение производной сложной функции u=y^x, где x=ln(t-1), y=e^t/2 и t=2?

Математика 11 класс Производные и правила дифференцирования высшая математика производная сложной функции значение производной u=y^x x=ln(t-1) y=e^t/2 t=2 решение задачи по математике Новый

Для нахождения производной сложной функции u = y^x, где x = ln(t - 1), y = e^(t/2) и t = 2, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и метод цепочки. Давайте пройдемся по шагам решения.

1. Определим функции:
   • x = ln(t - 1)
   • y = e^(t/2)
   • u = y^x
2. Найдем производные:
   • Сначала найдем производную u по t, используя правило дифференцирования сложной функции:
   • Для функции u = y^x, где y и x зависят от t, используем формулу: u' = (y^x)' = y^x * (x' * ln(y) + x * y' / y).
3. Найдём x' и y':
   • Для x = ln(t - 1): x' = 1 / (t - 1).
   • Для y = e^(t/2): y' = (1/2)e^(t/2).
4. Теперь подставим значения:
   • Подставим t = 2:
   • x = ln(2 - 1) = ln(1) = 0;
   • y = e^(2/2) = e^1 = e.
   • Теперь подставим x и y в производные:
   • x' = 1 / (2 - 1) = 1;
   • y' = (1/2)e = e/2.
5. Теперь подставим все значения в формулу для производной u:
   • u' = y^x * (x' * ln(y) + x * y' / y).
   • Подставляем значения:
   • u' = e^0 * (1 * ln(e) + 0 * (e/2) / e) = 1 * (1 + 0) = 1.

Итак, значение производной функции u в точке t = 2 равно 1.